Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{2} \frac{e^{\frac{1}{x^{5}}}}{x^{6}} d x$

Étape 1

Laissez $u = \frac{1}{x^{5}}$ . Alors $d u = - \frac{5}{x^{6}} d x$ , donc $1 d u = - \frac{5}{x^{6}} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Laissez $u = \frac{1}{x^{5}}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Étape 1.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{5}}$ comme ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Étape 1.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5 \cdot - 1}]$

Étape 1.1.2.2.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 5}]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 5$ .

$- 5 x^{- 6}$

Étape 1.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 \frac{1}{x^{6}}$

Étape 1.1.4.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.4.2.1

Associez $- 5$ et $\frac{1}{x^{6}}$ .

$\frac{- 5}{x^{6}}$

Étape 1.1.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{x^{6}}$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \frac{1}{x^{5}}$ .

$u_{lower} = \frac{1}{1^{5}}$

Étape 1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{lower} = \frac{1}{1}$

Étape 1.3.2

Divisez $1$ par $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \frac{1}{x^{5}}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2^{5}}$

Étape 1.5

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$u_{upper} = \frac{1}{32}$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{32}$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{\frac{1}{32}} - \frac{1}{5} e^{u} d u$

Étape 2

Comme $- \frac{1}{5}$ est constant par rapport à $u$ , placez $- \frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{5} \int_{1}^{\frac{1}{32}} e^{u} d u$

Étape 3

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- \frac{1}{5} e^{u}]_{1}^{\frac{1}{32}}$

Étape 4

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Évaluez $e^{u}$ sur $\frac{1}{32}$ et sur $1$ .

$- \frac{1}{5} ((e^{\frac{1}{32}}) - e^{1})$

Étape 4.2

Simplifiez

$- \frac{1}{5} (e^{\frac{1}{32}} - e)$

Étape 5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{5} e^{\frac{1}{32}} - \frac{1}{5} (- e)$

Étape 5.2

Associez $e^{\frac{1}{32}}$ et $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{32}}}{5} - \frac{1}{5} (- e)$

Étape 5.3

Multipliez $- \frac{1}{5} (- e)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{32}}}{5} + 1 (\frac{1}{5}) e$

Étape 5.3.2

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $1$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{32}}}{5} + \frac{1}{5} e$

Étape 5.3.3

Associez $\frac{1}{5}$ et $e$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{32}}}{5} + \frac{e}{5}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{e^{\frac{1}{32}}}{5} + \frac{e}{5}$

Forme décimale :

$0.33730768 \dots$

Étape 7