Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{e^{\sqrt{y}}}{\sqrt{y}} d y$

Étape 1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{e^{y^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{y}} d y$

Étape 1.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{e^{y^{\frac{1}{2}}}}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

Étape 1.3

Retirez $y^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int e^{y^{\frac{1}{2}}} {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y$

Étape 1.4

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int e^{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y$

Étape 1.4.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int e^{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{- 1}{2}} d y$

Étape 1.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int e^{y^{\frac{1}{2}}} y^{- \frac{1}{2}} d y$

Étape 2

Laissez $u = y^{\frac{1}{2}}$ . Alors $d u = \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} d y$ , donc $- d u = \frac{- 1}{2 y^{\frac{1}{2}}} d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = y^{\frac{1}{2}}$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1}$

Étape 2.1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Étape 2.1.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 2.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 2.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}}$

Étape 2.1.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}}$

Étape 2.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}}$

Étape 2.1.8

Simplifiez

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Étape 2.1.8.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.8.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int 2 e^{u} d u$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $u$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int e^{u} d u$

Étape 4

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$2 (e^{u} + C)$

Étape 5

Simplifiez

$2 e^{u} + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 e^{y^{\frac{1}{2}}} + C$