Calcul infinitésimal Exemples

$2 x y - y^{2} = 1$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (2 x y - y^{2}) = \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x y - y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x y$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Étape 2.2.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 (x y' + y) - \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$2 (x y' + y) - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (x y' + y) - (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 (x y' + y) - (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 (x y' + y) - (2 y y')$

Étape 2.3.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 (x y' + y) - 2 y y'$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x y') + 2 y - 2 y y'$

Étape 2.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 x y' - 2 y y' + 2 y$

Étape 3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 x y' - 2 y y' + 2 y = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $2 y$ des deux côtés de l’équation.

$2 x y' - 2 y y' = - 2 y$

Étape 5.2

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 x y' - 2 y y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 x y'$ .

$2 y' x - 2 y y' = - 2 y$

Étape 5.2.2

Factorisez $2 y'$ à partir de $- 2 y y'$ .

$2 y' x + 2 y' (- y) = - 2 y$

Étape 5.2.3

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y' x + 2 y' (- y)$ .

$2 y' (x - y) = - 2 y$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $2 y' (x - y) = - 2 y$ par $2 (x - y)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $2 y' (x - y) = - 2 y$ par $2 (x - y)$ .

$\frac{2 y' (x - y)}{2 (x - y)} = \frac{- 2 y}{2 (x - y)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y' (x - y)}{2 (x - y)} = \frac{- 2 y}{2 (x - y)}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (x - y)}{x - y} = \frac{- 2 y}{2 (x - y)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x - y$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x - y)}{x - y} = \frac{- 2 y}{2 (x - y)}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 y}{2 (x - y)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 5.3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y$ .

$y' = \frac{2 (- y)}{2 (x - y)}$

Étape 5.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 (- y)}{2 (x - y)}$

Étape 5.3.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- y}{x - y}$

Étape 5.3.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y}{x - y}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x - y}$