Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{9 x^{2} + 16} d x$

Étape 1

Remettez dans l’ordre $9 x^{2}$ et $16$ .

$\int \frac{1}{16 + 9 x^{2}} d x$

Étape 2

Factorisez $9$ à partir de $16 + 9 x^{2}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $9$ à partir de $16$ .

$\int \frac{1}{9 (\frac{16}{9}) + 9 x^{2}} d x$

Étape 2.2

Factorisez $9$ à partir de $9 x^{2}$ .

$\int \frac{1}{9 (\frac{16}{9}) + 9 (x^{2})} d x$

Étape 2.3

Factorisez $9$ à partir de $9 (\frac{16}{9}) + 9 (x^{2})$ .

$\int \frac{1}{9 (\frac{16}{9} + x^{2})} d x$

Étape 3

Comme $\frac{1}{9}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{9}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{9} \int \frac{1}{\frac{16}{9} + x^{2}} d x$

Étape 4

Réécrivez $\frac{16}{9}$ comme ${(\frac{4}{3})}^{2}$ .

$\frac{1}{9} \int \frac{1}{{(\frac{4}{3})}^{2} + x^{2}} d x$

Étape 5

L’intégrale de $\frac{1}{{(\frac{4}{3})}^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{\frac{4}{3}} \arctan (\frac{x}{\frac{4}{3}}) + C$ .

$\frac{1}{9} (\frac{1}{\frac{4}{3}} \arctan (\frac{x}{\frac{4}{3}}) + C)$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Simplifiez

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Étape 6.1.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{4}{3}$ .

$\frac{1}{9} (1 (\frac{3}{4}) \arctan (\frac{x}{\frac{4}{3}}) + C)$

Étape 6.1.2

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $1$ .

$\frac{1}{9} (\frac{3}{4} \arctan (\frac{x}{\frac{4}{3}}) + C)$

Étape 6.1.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{4}{3}$ .

$\frac{1}{9} (\frac{3}{4} \arctan (x \frac{3}{4}) + C)$

Étape 6.1.4

Associez $x$ et $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{9} (\frac{3}{4} \arctan (\frac{x \cdot 3}{4}) + C)$

Étape 6.1.5

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\frac{1}{9} (\frac{3}{4} \arctan (\frac{3 \cdot x}{4}) + C)$

Étape 6.1.6

Associez $\frac{3}{4}$ et $\arctan (\frac{3 x}{4})$ .

$\frac{1}{9} (\frac{3 \arctan (\frac{3 x}{4})}{4} + C)$

Étape 6.2

Réécrivez $\frac{1}{9} (\frac{3 \arctan (\frac{3 x}{4})}{4} + C)$ comme $\frac{1}{9} \cdot \frac{3}{4} \arctan (\frac{3}{4} x) + C$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{3}{4} \arctan (\frac{3}{4} x) + C$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{9 \cdot 4} \arctan (\frac{3}{4} x) + C$

Étape 6.3.2

Multipliez $9$ par $4$ .

$\frac{3}{36} \arctan (\frac{3}{4} x) + C$

Étape 6.3.3

Annulez le facteur commun à $3$ et $36$ .

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Étape 6.3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (1)}{36} \arctan (\frac{3}{4} x) + C$

Étape 6.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $36$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 12} \arctan (\frac{3}{4} x) + C$

Étape 6.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 12} \arctan (\frac{3}{4} x) + C$

Étape 6.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{12} \arctan (\frac{3}{4} x) + C$