Calcul infinitésimal Exemples

lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}$

Step 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Évaluez la limite du numérateur.

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Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Évaluez la limite de

x

$x$ en insérant

0

$0$ pour

x

$x$ .

\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

La valeur exacte de

\sin (0)

$\sin (0)$ est

0

$0$ .

\frac{0}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

\frac{0}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Évaluez la limite de

x

$x$ en insérant

0

$0$ pour

x

$x$ .

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

L’expression contient une division par

0

$0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

Step 2

Comme

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Step 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Différenciez le numérateur et le dénominateur.

lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

La dérivée de

\sin (x)

$\sin (x)$ par rapport à

x

$x$ est

\cos (x)

$\cos (x)$ .

lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ où

n = 1

$n = 1$ .

lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1}

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1}$

lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1}

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1}$

Step 4

Évaluez la limite.

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Divisez

\cos (x)

$\cos (x)$ par

1

$1$ .

lim_{x \to 0} \cos (x)

$lim_{x \to 0} \cos (x)$

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

\cos (lim_{x \to 0} x)

$\cos (lim_{x \to 0} x)$

\cos (lim_{x \to 0} x)

$\cos (lim_{x \to 0} x)$

Step 5

Évaluez la limite de

x

$x$ en insérant

0

$0$ pour

x

$x$ .

\cos (0)

$\cos (0)$

Step 6

La valeur exacte de

\cos (0)

$\cos (0)$ est

1

$1$ .

1

$1$