Calcul infinitésimal Exemples

$B (x) = 375 x^{2} - 3750 x^{3}$ , $0 \leq x \leq 0.1$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $375 x^{2} - 3750 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [375 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3750 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [375 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3750 x^{3}]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [375 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $375$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $375 x^{2}$ par rapport à $x$ est $375 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$375 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3750 x^{3}]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$375 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3750 x^{3}]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $2$ par $375$ .

$750 x + \frac{d}{d x} [- 3750 x^{3}]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3750 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 3750$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3750 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 3750 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$750 x - 3750 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$750 x - 3750 (3 x^{2})$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 3750$ .

$750 x - 11250 x^{2}$

Étape 1.1.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 11250 x^{2} + 750 x$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $B (x)$ par rapport à $x$ est $- 11250 x^{2} + 750 x$ .

$- 11250 x^{2} + 750 x$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 11250 x^{2} + 750 x = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 11250 x^{2} + 750 x = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $- 750 x$ à partir de $- 11250 x^{2} + 750 x$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $- 750 x$ à partir de $- 11250 x^{2}$ .

$- 750 x (15 x) + 750 x = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $- 750 x$ à partir de $750 x$ .

$- 750 x (15 x) - 750 x \cdot - 1 = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $- 750 x$ à partir de $- 750 x (15 x) - 750 x (- 1)$ .

$- 750 x (15 x - 1) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$15 x - 1 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $15 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $15 x - 1$ égal à $0$ .

$15 x - 1 = 0$

Étape 1.2.5.2

Résolvez $15 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$15 x = 1$

Étape 1.2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $15 x = 1$ par $15$ et simplifiez.

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Étape 1.2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $15 x = 1$ par $15$ .

$\frac{15 x}{15} = \frac{1}{15}$

Étape 1.2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $15$ .

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Étape 1.2.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{15 x}{15} = \frac{1}{15}$

Étape 1.2.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{15}$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 750 x (15 x - 1) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{1}{15}$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $375 x^{2} - 3750 x^{3}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$375 {(0)}^{2} - 3750 {(0)}^{3}$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$375 \cdot 0 - 3750 {(0)}^{3}$

Étape 1.4.1.2.1.2

Multipliez $375$ par $0$ .

$0 - 3750 {(0)}^{3}$

Étape 1.4.1.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 3750 \cdot 0$

Étape 1.4.1.2.1.4

Multipliez $- 3750$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 1.4.1.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = \frac{1}{15}$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{1}{15}$ .

$375 {(\frac{1}{15})}^{2} - 3750 {(\frac{1}{15})}^{3}$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{15}$ .

$375 \frac{1^{2}}{15^{2}} - 3750 {(\frac{1}{15})}^{3}$

Étape 1.4.2.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$375 \frac{1}{15^{2}} - 3750 {(\frac{1}{15})}^{3}$

Étape 1.4.2.2.1.3

Élevez $15$ à la puissance $2$ .

$375 (\frac{1}{225}) - 3750 {(\frac{1}{15})}^{3}$

Étape 1.4.2.2.1.4

Annulez le facteur commun de $75$ .

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Étape 1.4.2.2.1.4.1

Factorisez $75$ à partir de $375$ .

$75 (5) \frac{1}{225} - 3750 {(\frac{1}{15})}^{3}$

Étape 1.4.2.2.1.4.2

Factorisez $75$ à partir de $225$ .

$75 \cdot 5 \frac{1}{75 \cdot 3} - 3750 {(\frac{1}{15})}^{3}$

Étape 1.4.2.2.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$75 \cdot 5 \frac{1}{75 \cdot 3} - 3750 {(\frac{1}{15})}^{3}$

Étape 1.4.2.2.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$5 (\frac{1}{3}) - 3750 {(\frac{1}{15})}^{3}$

Étape 1.4.2.2.1.5

Associez $5$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{3} - 3750 {(\frac{1}{15})}^{3}$

Étape 1.4.2.2.1.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{15}$ .

$\frac{5}{3} - 3750 \frac{1^{3}}{15^{3}}$

Étape 1.4.2.2.1.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{5}{3} - 3750 \frac{1}{15^{3}}$

Étape 1.4.2.2.1.8

Élevez $15$ à la puissance $3$ .

$\frac{5}{3} - 3750 (\frac{1}{3375})$

Étape 1.4.2.2.1.9

Annulez le facteur commun de $375$ .

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Étape 1.4.2.2.1.9.1

Factorisez $375$ à partir de $- 3750$ .

$\frac{5}{3} + 375 (- 10) \frac{1}{3375}$

Étape 1.4.2.2.1.9.2

Factorisez $375$ à partir de $3375$ .

$\frac{5}{3} + 375 \cdot - 10 \frac{1}{375 \cdot 9}$

Étape 1.4.2.2.1.9.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{5}{3} + 375 \cdot - 10 \frac{1}{375 \cdot 9}$

Étape 1.4.2.2.1.9.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{3} - 10 (\frac{1}{9})$

Étape 1.4.2.2.1.10

Associez $- 10$ et $\frac{1}{9}$ .

$\frac{5}{3} + \frac{- 10}{9}$

Étape 1.4.2.2.1.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{5}{3} - \frac{10}{9}$

Étape 1.4.2.2.2

Pour écrire $\frac{5}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{10}{9}$

Étape 1.4.2.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $9$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.4.2.2.3.1

Multipliez $\frac{5}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5 \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{10}{9}$

Étape 1.4.2.2.3.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{5 \cdot 3}{9} - \frac{10}{9}$

Étape 1.4.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 \cdot 3 - 10}{9}$

Étape 1.4.2.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.2.2.5.1

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{15 - 10}{9}$

Étape 1.4.2.2.5.2

Soustrayez $10$ de $15$ .

$\frac{5}{9}$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(0, 0), (\frac{1}{15}, \frac{5}{9})$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$375 {(0)}^{2} - 3750 {(0)}^{3}$

Étape 2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$375 \cdot 0 - 3750 {(0)}^{3}$

Étape 2.1.2.1.2

Multipliez $375$ par $0$ .

$0 - 3750 {(0)}^{3}$

Étape 2.1.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 3750 \cdot 0$

Étape 2.1.2.1.4

Multipliez $- 3750$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 2.1.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 0.1$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $0.1$ .

$375 {(0.1)}^{2} - 3750 {(0.1)}^{3}$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Élevez $0.1$ à la puissance $2$ .

$375 \cdot 0.01 - 3750 {(0.1)}^{3}$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $375$ par $0.01$ .

$3.75 - 3750 {(0.1)}^{3}$

Étape 2.2.2.1.3

Élevez $0.1$ à la puissance $3$ .

$3.75 - 3750 \cdot 0.001$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $- 3750$ par $0.001$ .

$3.75 - 3.75$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $3.75$ de $3.75$ .

$0$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(0, 0), (0.1, 0)$

Étape 3

Comparez les valeurs $B (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $B (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $B (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(\frac{1}{15}, \frac{5}{9})$

Minimum absolu : $(0, 0), (0.1, 0)$

Étape 4