Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 5$ , $[0, 5]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $\frac{2}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.2.6.2

Soustrayez $2$ de $5$ .

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.2.7

Associez $\frac{5}{2}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.2.8

Multipliez $\frac{2}{5}$ par $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.2.9

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.2.10

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{10} + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.2.11

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{10} + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.2.12

Divisez $x^{\frac{3}{2}}$ par $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- \frac{4}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.3.6.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.3.7

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.3.8

Multipliez $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ par $\frac{4}{3}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.3.9

Multipliez $4$ par $3$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{12 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.3.10

Multipliez $2$ par $3$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{12 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.3.11

Factorisez $6$ à partir de $12 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{6 (2 x^{\frac{1}{2}})}{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.3.12

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.3.12.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{6 (2 x^{\frac{1}{2}})}{6 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.3.12.2

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{6 (2 x^{\frac{1}{2}})}{6 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.3.12.3

Réécrivez l’expression.

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.3.12.4

Divisez $2 x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} - (2 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.3.13

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$ .

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Étape 1.1.1.4.1

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.4.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 (\frac{1}{2}) x + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.4.4

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2}{2} x + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.4.5

Associez $\frac{- 2}{2}$ et $x$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2} + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.4.6

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 1.1.1.4.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x)}{2} + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.4.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.4.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.4.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.4.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- x}{1} + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.4.6.2.4

Divisez $- x$ par $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} - x + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.5

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} - x + 0$

Étape 1.1.1.6

Simplifiez

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Étape 1.1.1.6.1

Additionnez $x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} - x$ et $0$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} - x$

Étape 1.1.1.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - x + x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- x + x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$- x + x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- x + x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- x + x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Étape 1.2.2

Déterminez un facteur commun $x^{\frac{1}{2}}$ présent dans chaque terme.

$- 1 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{3} - 2 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.2.3

Remplacez $x^{\frac{1}{2}}$ par $u$ .

$- 1 {(u)}^{2} {(u)}^{3} - 2 u = 0$

Étape 1.2.4

Résolvez $u$ .

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Étape 1.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.1.1

Multipliez ${(u)}^{2}$ par ${(u)}^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.4.1.1.1

Déplacez ${(u)}^{3}$ .

$- 1 ({(u)}^{3} {(u)}^{2}) - 2 u = 0$

Étape 1.2.4.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 1 u^{3 + 2} - 2 u = 0$

Étape 1.2.4.1.1.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$- 1 u^{5} - 2 u = 0$

Étape 1.2.4.1.2

Réécrivez $- 1 u^{5}$ comme $- u^{5}$ .

$- u^{5} - 2 u = 0$

Étape 1.2.4.2

Factorisez $- u$ à partir de $- u^{5} - 2 u$ .

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Étape 1.2.4.2.1

Factorisez $- u$ à partir de $- u^{5}$ .

$- u \cdot u^{4} - 2 u = 0$

Étape 1.2.4.2.2

Factorisez $- u$ à partir de $- 2 u$ .

$- u \cdot u^{4} - u \cdot 2 = 0$

Étape 1.2.4.2.3

Factorisez $- u$ à partir de $- u (u^{4}) - u (2)$ .

$- u (u^{4} + 2) = 0$

Étape 1.2.4.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u = 0$

$u^{4} + 2 = 0$

Étape 1.2.4.4

Définissez $u$ égal à $0$ .

$u = 0$

Étape 1.2.4.5

Définissez $u^{4} + 2$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 1.2.4.5.1

Définissez $u^{4} + 2$ égal à $0$ .

$u^{4} + 2 = 0$

Étape 1.2.4.5.2

Résolvez $u^{4} + 2 = 0$ pour $u$ .

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Étape 1.2.4.5.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$u^{4} = - 2$

Étape 1.2.4.5.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$u = \pm \sqrt[4]{- 2}$

Étape 1.2.4.5.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.4.5.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$u = \sqrt[4]{- 2}$

Étape 1.2.4.5.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$u = - \sqrt[4]{- 2}$

Étape 1.2.4.5.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$u = \sqrt[4]{- 2}, - \sqrt[4]{- 2}$

Étape 1.2.4.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- u (u^{4} + 2) = 0$ vraie.

$u = 0, \sqrt[4]{- 2}, - \sqrt[4]{- 2}$

Étape 1.2.5

Remplacez $u$ par $x$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 0, \sqrt[4]{- 2}, - \sqrt[4]{- 2}$

Étape 1.2.6

Résolvez $x^{\frac{1}{2}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 1.2.6.2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 1.2.6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.6.2.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.2.6.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.2.6.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 1.2.6.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.6.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 1.2.6.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 0^{2}$

Étape 1.2.6.2.1.1.2

Simplifiez

$x = 0^{2}$

Étape 1.2.6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.6.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.7

Résolvez $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[4]{- 2}$ pour $x$ .

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Étape 1.2.7.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt[4]{- 2}}^{2}$

Étape 1.2.7.2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 1.2.7.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.7.2.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.2.7.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.2.7.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt[4]{- 2}}^{2}$

Étape 1.2.7.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.7.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt[4]{- 2}}^{2}$

Étape 1.2.7.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = {\sqrt[4]{- 2}}^{2}$

Étape 1.2.7.2.1.1.2

Simplifiez

$x = {\sqrt[4]{- 2}}^{2}$

Étape 1.2.7.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.7.2.2.1

Simplifiez ${\sqrt[4]{- 2}}^{2}$ .

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Étape 1.2.7.2.2.1.1

Réécrivez ${\sqrt[4]{- 2}}^{2}$ comme $\sqrt{- 2}$ .

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Étape 1.2.7.2.2.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{- 2}$ comme ${(- 2)}^{\frac{1}{4}}$ .

$x = {({(- 2)}^{\frac{1}{4}})}^{2}$

Étape 1.2.7.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = {(- 2)}^{\frac{1}{4} \cdot 2}$

Étape 1.2.7.2.2.1.1.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $2$ .

$x = {(- 2)}^{\frac{2}{4}}$

Étape 1.2.7.2.2.1.1.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.7.2.2.1.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x = {(- 2)}^{\frac{2 (1)}{4}}$

Étape 1.2.7.2.2.1.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.7.2.2.1.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = {(- 2)}^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 1.2.7.2.2.1.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = {(- 2)}^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 1.2.7.2.2.1.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = {(- 2)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.2.7.2.2.1.1.5

Réécrivez ${(- 2)}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{- 2}$ .

$x = \sqrt{- 2}$

Étape 1.2.7.2.2.1.2

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$x = \sqrt{- 1 (2)}$

Étape 1.2.7.2.2.1.3

Réécrivez $\sqrt{- 1 (2)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Étape 1.2.7.2.2.1.4

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = i \sqrt{2}$

Étape 1.2.8

Indiquez toutes les solutions.

$x = 0, i \sqrt{2}, i \sqrt{2}$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 1.3.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$- x + \sqrt{x^{3}} - 2 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.3.1.2

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$- x + \sqrt{x^{3}} - 2 \sqrt{x^{1}}$

Étape 1.3.1.3

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$- x + \sqrt{x^{3}} - 2 \sqrt{x}$

Étape 1.3.2

Définissez le radicande dans $\sqrt{x^{3}}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{3} < 0$

Étape 1.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 1.3.3.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Étape 1.3.3.2

Simplifiez l’équation.

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Étape 1.3.3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.2.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$x < \sqrt[3]{0}$

Étape 1.3.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.3.2.2.1

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.2.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 1.3.3.2.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x < 0$

Étape 1.3.4

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 5$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\frac{2 {(0)}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(0)}^{2}}{2} + 5$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.1.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(0)}^{2}}{2} + 5$

Étape 1.4.1.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(0)}^{2}}{2} + 5$

Étape 1.4.1.2.1.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(0)}^{2}}{2} + 5$

Étape 1.4.1.2.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \cdot 0^{5}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(0)}^{2}}{2} + 5$

Étape 1.4.1.2.1.1.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{2 \cdot 0}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(0)}^{2}}{2} + 5$

Étape 1.4.1.2.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(0)}^{2}}{2} + 5$

Étape 1.4.1.2.1.3

Divisez $0$ par $5$ .

$0 - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(0)}^{2}}{2} + 5$

Étape 1.4.1.2.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.1.2.1.4.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$0 - \frac{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(0)}^{2}}{2} + 5$

Étape 1.4.1.2.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - \frac{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{{(0)}^{2}}{2} + 5$

Étape 1.4.1.2.1.4.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.1.2.1.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$0 - \frac{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{{(0)}^{2}}{2} + 5$

Étape 1.4.1.2.1.4.3.2

Réécrivez l’expression.

$0 - \frac{4 \cdot 0^{3}}{3} - \frac{{(0)}^{2}}{2} + 5$

Étape 1.4.1.2.1.4.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - \frac{4 \cdot 0}{3} - \frac{{(0)}^{2}}{2} + 5$

Étape 1.4.1.2.1.5

Multipliez $4$ par $0$ .

$0 - \frac{0}{3} - \frac{{(0)}^{2}}{2} + 5$

Étape 1.4.1.2.1.6

Divisez $0$ par $3$ .

$0 - 0 - \frac{{(0)}^{2}}{2} + 5$

Étape 1.4.1.2.1.7

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 + 0 - \frac{{(0)}^{2}}{2} + 5$

Étape 1.4.1.2.1.8

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 0 - \frac{0}{2} + 5$

Étape 1.4.1.2.1.9

Divisez $0$ par $2$ .

$0 + 0 - 0 + 5$

Étape 1.4.1.2.1.10

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 + 0 + 0 + 5$

Étape 1.4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 1.4.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 0 + 5$

Étape 1.4.1.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 5$

Étape 1.4.1.2.2.3

Additionnez $0$ et $5$ .

$5$

Étape 1.4.2

Indiquez tous les points.

$(0, 5)$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\frac{2 {(0)}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(0)}^{2}}{2} + 5$

Étape 2.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(0)}^{2}}{2} + 5$

Étape 2.1.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(0)}^{2}}{2} + 5$

Étape 2.1.2.1.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(0)}^{2}}{2} + 5$

Étape 2.1.2.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \cdot 0^{5}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(0)}^{2}}{2} + 5$

Étape 2.1.2.1.1.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{2 \cdot 0}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(0)}^{2}}{2} + 5$

Étape 2.1.2.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(0)}^{2}}{2} + 5$

Étape 2.1.2.1.3

Divisez $0$ par $5$ .

$0 - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(0)}^{2}}{2} + 5$

Étape 2.1.2.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.2.1.4.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$0 - \frac{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(0)}^{2}}{2} + 5$

Étape 2.1.2.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - \frac{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{{(0)}^{2}}{2} + 5$

Étape 2.1.2.1.4.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.2.1.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$0 - \frac{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{{(0)}^{2}}{2} + 5$

Étape 2.1.2.1.4.3.2

Réécrivez l’expression.

$0 - \frac{4 \cdot 0^{3}}{3} - \frac{{(0)}^{2}}{2} + 5$

Étape 2.1.2.1.4.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - \frac{4 \cdot 0}{3} - \frac{{(0)}^{2}}{2} + 5$

Étape 2.1.2.1.5

Multipliez $4$ par $0$ .

$0 - \frac{0}{3} - \frac{{(0)}^{2}}{2} + 5$

Étape 2.1.2.1.6

Divisez $0$ par $3$ .

$0 - 0 - \frac{{(0)}^{2}}{2} + 5$

Étape 2.1.2.1.7

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 + 0 - \frac{{(0)}^{2}}{2} + 5$

Étape 2.1.2.1.8

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 0 - \frac{0}{2} + 5$

Étape 2.1.2.1.9

Divisez $0$ par $2$ .

$0 + 0 - 0 + 5$

Étape 2.1.2.1.10

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 + 0 + 0 + 5$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 2.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 0 + 5$

Étape 2.1.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 5$

Étape 2.1.2.2.3

Additionnez $0$ et $5$ .

$5$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 5$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $5$ .

$\frac{2 {(5)}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 {(5)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(5)}^{2}}{2} + 5$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Placez $5^{1}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 {(5)}^{\frac{5}{2}} \cdot 5^{- 1} - \frac{4 {(5)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(5)}^{2}}{2} + 5$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez ${(5)}^{\frac{5}{2}}$ par $5^{- 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.2.1.2.1

Déplacez $5^{- 1}$ .

$2 (5^{- 1} {(5)}^{\frac{5}{2}}) - \frac{4 {(5)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(5)}^{2}}{2} + 5$

Étape 2.2.2.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \cdot 5^{- 1 + \frac{5}{2}} - \frac{4 {(5)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(5)}^{2}}{2} + 5$

Étape 2.2.2.1.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 \cdot 5^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2}} - \frac{4 {(5)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(5)}^{2}}{2} + 5$

Étape 2.2.2.1.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 \cdot 5^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2}} - \frac{4 {(5)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(5)}^{2}}{2} + 5$

Étape 2.2.2.1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \cdot 5^{\frac{- 1 \cdot 2 + 5}{2}} - \frac{4 {(5)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(5)}^{2}}{2} + 5$

Étape 2.2.2.1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.2.1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 \cdot 5^{\frac{- 2 + 5}{2}} - \frac{4 {(5)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(5)}^{2}}{2} + 5$

Étape 2.2.2.1.2.6.2

Additionnez $- 2$ et $5$ .

$2 \cdot 5^{\frac{3}{2}} - \frac{4 {(5)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(5)}^{2}}{2} + 5$

Étape 2.2.2.1.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$2 \cdot 5^{\frac{3}{2}} - \frac{4 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{25}{2} + 5$

Étape 2.2.2.2

Pour écrire $2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$2 \cdot 5^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{25}{2} + 5$

Étape 2.2.2.3

Associez les fractions.

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Étape 2.2.2.3.1

Associez $2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}} \cdot 3}{3} - \frac{4 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{25}{2} + 5$

Étape 2.2.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}} \cdot 3 - 4 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{25}{2} + 5$

Étape 2.2.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.2.4.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 \cdot 5^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{25}{2} + 5$

Étape 2.2.2.4.2

Soustrayez $4 \cdot 5^{\frac{3}{2}}$ de $6 \cdot 5^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{25}{2} + 5$

Étape 2.2.2.5

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3} - \frac{25}{2}$

Étape 2.2.2.6

Associez $5$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3} - \frac{25}{2}$

Étape 2.2.2.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.2.7.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}} + 5 \cdot 3}{3} - \frac{25}{2}$

Étape 2.2.2.7.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}} + 15}{3} - \frac{25}{2}$

Étape 2.2.2.8

Pour écrire $\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}} + 15}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}} + 15}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{25}{2}$

Étape 2.2.2.9

Pour écrire $- \frac{25}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}} + 15}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{25}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 2.2.2.10

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.2.2.10.1

Multipliez $\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}} + 15}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(2 \cdot 5^{\frac{3}{2}} + 15) \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{25}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 2.2.2.10.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{(2 \cdot 5^{\frac{3}{2}} + 15) \cdot 2}{6} - \frac{25}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 2.2.2.10.3

Multipliez $\frac{25}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(2 \cdot 5^{\frac{3}{2}} + 15) \cdot 2}{6} - \frac{25 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.2.10.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{(2 \cdot 5^{\frac{3}{2}} + 15) \cdot 2}{6} - \frac{25 \cdot 3}{6}$

Étape 2.2.2.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(2 \cdot 5^{\frac{3}{2}} + 15) \cdot 2 - 25 \cdot 3}{6}$

Étape 2.2.2.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.2.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 15 \cdot 2 - 25 \cdot 3}{6}$

Étape 2.2.2.12.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 \cdot 5^{\frac{3}{2}} + 15 \cdot 2 - 25 \cdot 3}{6}$

Étape 2.2.2.12.3

Multipliez $15$ par $2$ .

$\frac{4 \cdot 5^{\frac{3}{2}} + 30 - 25 \cdot 3}{6}$

Étape 2.2.2.12.4

Multipliez $- 25$ par $3$ .

$\frac{4 \cdot 5^{\frac{3}{2}} + 30 - 75}{6}$

Étape 2.2.2.12.5

Soustrayez $75$ de $30$ .

$\frac{4 \cdot 5^{\frac{3}{2}} - 45}{6}$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(0, 5), (5, \frac{4 \cdot 5^{\frac{3}{2}} - 45}{6})$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(0, 5)$

Minimum absolu : $(5, \frac{4 \cdot 5^{\frac{3}{2}} - 45}{6})$

Étape 4