Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{4} - x^{6}$ , $[- 1, 2]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{4} - x^{6}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{6}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{6}]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{6}]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x^{6}]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{6}]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{6}]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{6}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$12 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$12 x^{3} - (6 x^{5})$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$12 x^{3} - 6 x^{5}$

Étape 1.1.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 6 x^{5} + 12 x^{3}$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 6 x^{5} + 12 x^{3}$ .

$- 6 x^{5} + 12 x^{3}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 6 x^{5} + 12 x^{3} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 6 x^{5} + 12 x^{3} = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $- 6 x^{3}$ à partir de $- 6 x^{5} + 12 x^{3}$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $- 6 x^{3}$ à partir de $- 6 x^{5}$ .

$- 6 x^{3} x^{2} + 12 x^{3} = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $- 6 x^{3}$ à partir de $12 x^{3}$ .

$- 6 x^{3} x^{2} - 6 x^{3} \cdot - 2 = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $- 6 x^{3}$ à partir de $- 6 x^{3} (x^{2}) - 6 x^{3} (- 2)$ .

$- 6 x^{3} (x^{2} - 2) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{3} = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x^{3}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $x^{3}$ égal à $0$ .

$x^{3} = 0$

Étape 1.2.4.2

Résolvez $x^{3} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 1.2.4.2.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 1.2.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 1.2.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $x^{2} - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x^{2} - 2$ égal à $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Étape 1.2.5.2

Résolvez $x^{2} - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 2$

Étape 1.2.5.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{2}$

Étape 1.2.5.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.5.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{2}$

Étape 1.2.5.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{2}$

Étape 1.2.5.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 6 x^{3} (x^{2} - 2) = 0$ vraie.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $3 x^{4} - x^{6}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$3 {(0)}^{4} - {(0)}^{6}$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3 \cdot 0 - {(0)}^{6}$

Étape 1.4.1.2.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$0 - {(0)}^{6}$

Étape 1.4.1.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 0$

Étape 1.4.1.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 1.4.1.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = \sqrt{2}$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $\sqrt{2}$ .

$3 {(\sqrt{2})}^{4} - {(\sqrt{2})}^{6}$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{4}$ comme $2^{2}$ .

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Étape 1.4.2.2.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - {(\sqrt{2})}^{6}$

Étape 1.4.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - {(\sqrt{2})}^{6}$

Étape 1.4.2.2.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$3 \cdot 2^{\frac{4}{2}} - {(\sqrt{2})}^{6}$

Étape 1.4.2.2.1.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 1.4.2.2.1.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$3 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - {(\sqrt{2})}^{6}$

Étape 1.4.2.2.1.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.2.1.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$3 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - {(\sqrt{2})}^{6}$

Étape 1.4.2.2.1.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - {(\sqrt{2})}^{6}$

Étape 1.4.2.2.1.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 \cdot 2^{\frac{2}{1}} - {(\sqrt{2})}^{6}$

Étape 1.4.2.2.1.1.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$3 \cdot 2^{2} - {(\sqrt{2})}^{6}$

Étape 1.4.2.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$3 \cdot 4 - {(\sqrt{2})}^{6}$

Étape 1.4.2.2.1.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 - {(\sqrt{2})}^{6}$

Étape 1.4.2.2.1.4

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{6}$ comme $2^{3}$ .

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Étape 1.4.2.2.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$12 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{6}$

Étape 1.4.2.2.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 6}$

Étape 1.4.2.2.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $6$ .

$12 - 2^{\frac{6}{2}}$

Étape 1.4.2.2.1.4.4

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 1.4.2.2.1.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$12 - 2^{\frac{2 \cdot 3}{2}}$

Étape 1.4.2.2.1.4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.2.1.4.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$12 - 2^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}$

Étape 1.4.2.2.1.4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$12 - 2^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}$

Étape 1.4.2.2.1.4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$12 - 2^{\frac{3}{1}}$

Étape 1.4.2.2.1.4.4.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$12 - 2^{3}$

Étape 1.4.2.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$12 - 1 \cdot 8$

Étape 1.4.2.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$12 - 8$

Étape 1.4.2.2.2

Soustrayez $8$ de $12$ .

$4$

Étape 1.4.3

Évaluez sur $x = - \sqrt{2}$ .

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Étape 1.4.3.1

Remplacez $x$ par $- \sqrt{2}$ .

$3 {(- \sqrt{2})}^{4} - {(- \sqrt{2})}^{6}$

Étape 1.4.3.2

Simplifiez

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Étape 1.4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{2}$ .

$3 ({(- 1)}^{4} {\sqrt{2}}^{4}) - {(- \sqrt{2})}^{6}$

Étape 1.4.3.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$3 (1 {\sqrt{2}}^{4}) - {(- \sqrt{2})}^{6}$

Étape 1.4.3.2.1.3

Multipliez ${\sqrt{2}}^{4}$ par $1$ .

$3 {\sqrt{2}}^{4} - {(- \sqrt{2})}^{6}$

Étape 1.4.3.2.1.4

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{4}$ comme $2^{2}$ .

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Étape 1.4.3.2.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - {(- \sqrt{2})}^{6}$

Étape 1.4.3.2.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - {(- \sqrt{2})}^{6}$

Étape 1.4.3.2.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$3 \cdot 2^{\frac{4}{2}} - {(- \sqrt{2})}^{6}$

Étape 1.4.3.2.1.4.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 1.4.3.2.1.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$3 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - {(- \sqrt{2})}^{6}$

Étape 1.4.3.2.1.4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.3.2.1.4.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$3 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - {(- \sqrt{2})}^{6}$

Étape 1.4.3.2.1.4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - {(- \sqrt{2})}^{6}$

Étape 1.4.3.2.1.4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 \cdot 2^{\frac{2}{1}} - {(- \sqrt{2})}^{6}$

Étape 1.4.3.2.1.4.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$3 \cdot 2^{2} - {(- \sqrt{2})}^{6}$

Étape 1.4.3.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$3 \cdot 4 - {(- \sqrt{2})}^{6}$

Étape 1.4.3.2.1.6

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 - {(- \sqrt{2})}^{6}$

Étape 1.4.3.2.1.7

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{2}$ .

$12 - ({(- 1)}^{6} {\sqrt{2}}^{6})$

Étape 1.4.3.2.1.8

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{6}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.3.2.1.8.1

Déplacez ${(- 1)}^{6}$ .

$12 + {(- 1)}^{6} \cdot - 1 {\sqrt{2}}^{6}$

Étape 1.4.3.2.1.8.2

Multipliez ${(- 1)}^{6}$ par $- 1$ .

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Étape 1.4.3.2.1.8.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$12 + {(- 1)}^{6} \cdot {(- 1)}^{1} {\sqrt{2}}^{6}$

Étape 1.4.3.2.1.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 + {(- 1)}^{6 + 1} {\sqrt{2}}^{6}$

Étape 1.4.3.2.1.8.3

Additionnez $6$ et $1$ .

$12 + {(- 1)}^{7} {\sqrt{2}}^{6}$

Étape 1.4.3.2.1.9

Élevez $- 1$ à la puissance $7$ .

$12 - {\sqrt{2}}^{6}$

Étape 1.4.3.2.1.10

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{6}$ comme $2^{3}$ .

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Étape 1.4.3.2.1.10.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$12 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{6}$

Étape 1.4.3.2.1.10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 6}$

Étape 1.4.3.2.1.10.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $6$ .

$12 - 2^{\frac{6}{2}}$

Étape 1.4.3.2.1.10.4

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 1.4.3.2.1.10.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$12 - 2^{\frac{2 \cdot 3}{2}}$

Étape 1.4.3.2.1.10.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.3.2.1.10.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$12 - 2^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}$

Étape 1.4.3.2.1.10.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$12 - 2^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}$

Étape 1.4.3.2.1.10.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$12 - 2^{\frac{3}{1}}$

Étape 1.4.3.2.1.10.4.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$12 - 2^{3}$

Étape 1.4.3.2.1.11

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$12 - 1 \cdot 8$

Étape 1.4.3.2.1.12

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$12 - 8$

Étape 1.4.3.2.2

Soustrayez $8$ de $12$ .

$4$

Étape 1.4.4

Indiquez tous les points.

$(0, 0), (\sqrt{2}, 4), (- \sqrt{2}, 4)$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

$(0, 0), (\sqrt{2}, 4)$

Étape 3

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 3.1

Évaluez sur $x = - 1$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

$3 {(- 1)}^{4} - {(- 1)}^{6}$

Étape 3.1.2

Simplifiez

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$3 \cdot 1 - {(- 1)}^{6}$

Étape 3.1.2.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 - {(- 1)}^{6}$

Étape 3.1.2.1.3

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{6}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{6}$ .

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Étape 3.1.2.1.3.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$3 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{6}$

Étape 3.1.2.1.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 + {(- 1)}^{1 + 6}$

Étape 3.1.2.1.3.2

Additionnez $1$ et $6$ .

$3 + {(- 1)}^{7}$

Étape 3.1.2.1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $7$ .

$3 - 1$

Étape 3.1.2.2

Soustrayez $1$ de $3$ .

$2$

Étape 3.2

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$3 {(2)}^{4} - {(2)}^{6}$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$3 \cdot 16 - {(2)}^{6}$

Étape 3.2.2.1.2

Multipliez $3$ par $16$ .

$48 - {(2)}^{6}$

Étape 3.2.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $6$ .

$48 - 1 \cdot 64$

Étape 3.2.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $64$ .

$48 - 64$

Étape 3.2.2.2

Soustrayez $64$ de $48$ .

$- 16$

Étape 3.3

Indiquez tous les points.

$(- 1, 2), (2, - 16)$

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(\sqrt{2}, 4)$

Minimum absolu : $(2, - 16)$

Étape 5