Calcul infinitésimal Exemples

$y = x + \sin (x)$ , $0 \leq x \leq 2 π$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.1.1.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f' (x) = 1 + \cos (x)$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $1 + \cos (x)$ .

$1 + \cos (x)$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $1 + \cos (x) = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$1 + \cos (x) = 0$

Étape 1.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\cos (x) = - 1$

Étape 1.2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- 1)$

Étape 1.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.1

La valeur exacte de $\arccos (- 1)$ est $π$ .

$x = π$

Étape 1.2.5

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - π$

Étape 1.2.6

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Étape 1.2.7

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 1.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 1.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 1.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 1.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 1.2.8

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $x + \sin (x)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = π$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $π$ .

$(π) + \sin (π)$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$π + \sin (0)$

Étape 1.4.1.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$π + 0$

Étape 1.4.1.2.2

Additionnez $π$ et $0$ .

$π$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = 3 π$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $3 π$ .

$(3 π) + \sin (3 π)$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$3 π + \sin (π)$

Étape 1.4.2.2.1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$3 π + \sin (0)$

Étape 1.4.2.2.1.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$3 π + 0$

Étape 1.4.2.2.2

Additionnez $3 π$ et $0$ .

$3 π$

Étape 1.4.3

Évaluez sur $x = 5 π$ .

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Étape 1.4.3.1

Remplacez $x$ par $5 π$ .

$(5 π) + \sin (5 π)$

Étape 1.4.3.2

Simplifiez

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Étape 1.4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.3.2.1.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$5 π + \sin (π)$

Étape 1.4.3.2.1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$5 π + \sin (0)$

Étape 1.4.3.2.1.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$5 π + 0$

Étape 1.4.3.2.2

Additionnez $5 π$ et $0$ .

$5 π$

Étape 1.4.4

Évaluez sur $x = 7 π$ .

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Étape 1.4.4.1

Remplacez $x$ par $7 π$ .

$(7 π) + \sin (7 π)$

Étape 1.4.4.2

Simplifiez

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Étape 1.4.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.4.2.1.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$7 π + \sin (π)$

Étape 1.4.4.2.1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$7 π + \sin (0)$

Étape 1.4.4.2.1.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$7 π + 0$

Étape 1.4.4.2.2

Additionnez $7 π$ et $0$ .

$7 π$

Étape 1.4.5

Évaluez sur $x = 9 π$ .

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Étape 1.4.5.1

Remplacez $x$ par $9 π$ .

$(9 π) + \sin (9 π)$

Étape 1.4.5.2

Simplifiez

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Étape 1.4.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.5.2.1.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$9 π + \sin (π)$

Étape 1.4.5.2.1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$9 π + \sin (0)$

Étape 1.4.5.2.1.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$9 π + 0$

Étape 1.4.5.2.2

Additionnez $9 π$ et $0$ .

$9 π$

Étape 1.4.6

Indiquez tous les points.

$(π, π), (3 π, 3 π), (5 π, 5 π), (7 π, 7 π), (9 π, 9 π)$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

$(π, π)$

Étape 3

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 3.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$(0) + \sin (0)$

Étape 3.1.2

Simplifiez

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Étape 3.1.2.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$0 + 0$

Étape 3.1.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 3.2

Évaluez sur $x = 2 π$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez $x$ par $2 π$ .

$(2 π) + \sin (2 π)$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$2 π + \sin (0)$

Étape 3.2.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$2 π + 0$

Étape 3.2.2.2

Additionnez $2 π$ et $0$ .

$2 π$

Étape 3.3

Indiquez tous les points.

$(0, 0), (2 π, 2 π)$

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(2 π, 2 π)$

Minimum absolu : $(0, 0)$

Étape 5