Calcul infinitésimal Exemples

$g (t) = \frac{t}{t - 8}$ on $10$ , $12$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = t$ et $g (t) = t - 8$ .

$\frac{(t - 8) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(t - 8) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.2

Multipliez $t - 8$ par $1$ .

$\frac{t - 8 - t \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t - 8$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 8]$ .

$\frac{t - 8 - t (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 8])}{{(t - 8)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{t - 8 - t (1 + \frac{d}{d t} [- 8])}{{(t - 8)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.5

Comme $- 8$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{t - 8 - t (1 + 0)}{{(t - 8)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.6

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.1.1.2.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{t - 8 - t \cdot 1}{{(t - 8)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{t - 8 - t}{{(t - 8)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.6.3

Soustrayez $t$ de $t$ .

$\frac{0 - 8}{{(t - 8)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.6.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.2.6.4.1

Soustrayez $8$ de $0$ .

$\frac{- 8}{{(t - 8)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.6.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (t) = - \frac{8}{{(t - 8)}^{2}}$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $g (t)$ par rapport à $t$ est $- \frac{8}{{(t - 8)}^{2}}$ .

$- \frac{8}{{(t - 8)}^{2}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{8}{{(t - 8)}^{2}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{8}{{(t - 8)}^{2}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$8 = 0$

Étape 1.2.3

Comme $8 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{8}{{(t - 8)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(t - 8)}^{2} = 0$

Étape 1.3.2

Résolvez $t$ .

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Étape 1.3.2.1

Définissez le $t - 8$ égal à $0$ .

$t - 8 = 0$

Étape 1.3.2.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$t = 8$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{t}{t - 8}$ sur chaque valeur $t$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $t = 8$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $t$ par $8$ .

$\frac{8}{(8) - 8}$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Soustrayez $8$ de $8$ .

$\frac{8}{0}$

Étape 1.4.1.2.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 1.5

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $t$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Aucun point critique n’a été trouvé

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $t = 10$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $t$ par $10$ .

$\frac{10}{(10) - 8}$

Étape 2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1

Annulez le facteur commun à $10$ et $(10) - 8$ .

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Étape 2.1.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\frac{2 (5)}{(10) - 8}$

Étape 2.1.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 5 - 8}$

Étape 2.1.2.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$\frac{2 (5)}{2 \cdot 5 + 2 \cdot - 4}$

Étape 2.1.2.1.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 5 + 2 \cdot - 4$ .

$\frac{2 (5)}{2 \cdot (5 - 4)}$

Étape 2.1.2.1.2.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot (5 - 4)}$

Étape 2.1.2.1.2.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{5 - 4}$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.2.1

Soustrayez $4$ de $5$ .

$\frac{5}{1}$

Étape 2.1.2.2.2

Divisez $5$ par $1$ .

$5$

Étape 2.2

Évaluez sur $t = 12$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $t$ par $12$ .

$\frac{12}{(12) - 8}$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun à $12$ et $(12) - 8$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{4 (3)}{(12) - 8}$

Étape 2.2.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 3 - 8}$

Étape 2.2.2.1.2.2

Factorisez $4$ à partir de $- 8$ .

$\frac{4 (3)}{4 \cdot 3 + 4 \cdot - 2}$

Étape 2.2.2.1.2.3

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot 3 + 4 \cdot - 2$ .

$\frac{4 (3)}{4 \cdot (3 - 2)}$

Étape 2.2.2.1.2.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot (3 - 2)}$

Étape 2.2.2.1.2.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{3 - 2}$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.2.2.1

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{3}{1}$

Étape 2.2.2.2.2

Divisez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(10, 5), (12, 3)$

Étape 3

Comparez les valeurs $g (t)$ trouvées pour chaque valeur de $t$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $g (t)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $g (t)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(10, 5)$

Minimum absolu : $(12, 3)$

Étape 4