Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{2}{x^{4} - 16}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{x^{4} - 16}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$

Étape 1.1.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{4} - 16}$ comme ${(x^{4} - 16)}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{4} - 16)}^{- 1}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{4} - 16$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{4} - 16$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4} - 16$ .

$2 (- {(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 ({(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16])$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16])$

Étape 1.3.4

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + 0)$

Étape 1.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.5.1

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3})$

Étape 1.3.5.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$- 8 {(x^{4} - 16)}^{- 2} x^{3}$

Étape 1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Étape 1.5

Associez des termes.

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Étape 1.5.1

Associez $- 8$ et $\frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$\frac{- 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Étape 1.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Étape 1.5.3

Associez $x^{3}$ et $\frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Étape 1.5.4

Déplacez $8$ à gauche de $x^{3}$ .

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{d}{d x} \frac{x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = {(x^{4} - 16)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{({(x^{4} - 16)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{4} - 16)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.3.3

Déplacez $3$ à gauche de ${(x^{4} - 16)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 \cdot ({(x^{4} - 16)}^{2} x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{4} - 16$ .

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Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{4} - 16$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - x^{3} (2 u \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4} - 16$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - x^{3} (2 (x^{4} - 16) \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.5

Différenciez.

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Étape 2.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 16) \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 16) (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 16)))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 16) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 16)))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.5.4

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 16) (4 x^{3} + 0))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.5.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.5.1

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 16) (4 x^{3}))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.5.5.2

Déplacez $4$ à gauche de $x^{4} - 16$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} (4 \cdot ((x^{4} - 16) x^{3}))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.5.5.3

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 8 x^{3} ((x^{4} - 16) x^{3})}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 8 x^{3 + 3} (x^{4} - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.7

Additionnez $3$ et $3$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.8

Associez $- 8$ et $\frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10

Simplifiez

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Étape 2.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} x^{4} - 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.10.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.10.3.1.1

Réécrivez ${(x^{4} - 16)}^{2}$ comme $(x^{4} - 16) (x^{4} - 16)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (3 ((x^{4} - 16) (x^{4} - 16)) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.3.1.2

Développez $(x^{4} - 16) (x^{4} - 16)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.10.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{4} (x^{4} - 16) - 16 (x^{4} - 16)) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot - 16 - 16 (x^{4} - 16)) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot - 16 - 16 x^{4} - 16 \cdot - 16) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.10.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.10.3.1.3.1.1

Multipliez $x^{4}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.10.3.1.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{4 + 4} + x^{4} \cdot - 16 - 16 x^{4} - 16 \cdot - 16) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.3.1.3.1.1.2

Additionnez $4$ et $4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{8} + x^{4} \cdot - 16 - 16 x^{4} - 16 \cdot - 16) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.3.1.3.1.2

Déplacez $- 16$ à gauche de $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{8} - 16 \cdot x^{4} - 16 x^{4} - 16 \cdot - 16) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.3.1.3.1.3

Multipliez $- 16$ par $- 16$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{8} - 16 x^{4} - 16 x^{4} + 256) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.3.1.3.2

Soustrayez $16 x^{4}$ de $- 16 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{8} - 32 x^{4} + 256) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.3.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{8 ((3 x^{8} + 3 (- 32 x^{4}) + 3 \cdot 256) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.3.1.5

Simplifiez

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Étape 2.10.3.1.5.1

Multipliez $- 32$ par $3$ .

$f'' (x) = - \frac{8 ((3 x^{8} - 96 x^{4} + 3 \cdot 256) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.3.1.5.2

Multipliez $3$ par $256$ .

$f'' (x) = - \frac{8 ((3 x^{8} - 96 x^{4} + 768) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.3.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{8} x^{2} - 96 x^{4} x^{2} + 768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.3.1.7

Simplifiez

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Étape 2.10.3.1.7.1

Multipliez $x^{8}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.10.3.1.7.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{2} x^{8}) - 96 x^{4} x^{2} + 768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.3.1.7.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{2 + 8} - 96 x^{4} x^{2} + 768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.3.1.7.1.3

Additionnez $2$ et $8$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{10} - 96 x^{4} x^{2} + 768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.3.1.7.2

Multipliez $x^{4}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.10.3.1.7.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{10} - 96 (x^{2} x^{4}) + 768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.3.1.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{10} - 96 x^{2 + 4} + 768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.3.1.7.2.3

Additionnez $2$ et $4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{10} - 96 x^{6} + 768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.3.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{10}) + 8 (- 96 x^{6}) + 8 (768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.3.1.9

Simplifiez

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Étape 2.10.3.1.9.1

Multipliez $3$ par $8$ .

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} + 8 (- 96 x^{6}) + 8 (768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.3.1.9.2

Multipliez $- 96$ par $8$ .

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 8 (768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.3.1.9.3

Multipliez $768$ par $8$ .

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.3.1.10

Multipliez $x^{6}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.10.3.1.10.1

Déplacez $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} + 8 (- 8 (x^{4} x^{6})) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.3.1.10.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} + 8 (- 8 x^{4 + 6}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.3.1.10.3

Additionnez $4$ et $6$ .

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} + 8 (- 8 x^{10}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.3.1.11

Multipliez $- 8$ par $8$ .

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} - 64 x^{10} + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.3.1.12

Multipliez $- 16$ par $- 8$ .

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} - 64 x^{10} + 8 (128 x^{6})}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.3.1.13

Multipliez $128$ par $8$ .

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} - 64 x^{10} + 1024 x^{6}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.3.2

Soustrayez $64 x^{10}$ de $24 x^{10}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 40 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} + 1024 x^{6}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.3.3

Additionnez $- 768 x^{6}$ et $1024 x^{6}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 40 x^{10} + 256 x^{6} + 6144 x^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.10.4.1

Factorisez $8 x^{2}$ à partir de $- 40 x^{10} + 256 x^{6} + 6144 x^{2}$ .

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Étape 2.10.4.1.1

Factorisez $8 x^{2}$ à partir de $- 40 x^{10}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{8}) + 256 x^{6} + 6144 x^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.4.1.2

Factorisez $8 x^{2}$ à partir de $256 x^{6}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{8}) + 8 x^{2} (32 x^{4}) + 6144 x^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.4.1.3

Factorisez $8 x^{2}$ à partir de $6144 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{8}) + 8 x^{2} (32 x^{4}) + 8 x^{2} (768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.4.1.4

Factorisez $8 x^{2}$ à partir de $8 x^{2} (- 5 x^{8}) + 8 x^{2} (32 x^{4})$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{8} + 32 x^{4}) + 8 x^{2} (768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.4.1.5

Factorisez $8 x^{2}$ à partir de $8 x^{2} (- 5 x^{8} + 32 x^{4}) + 8 x^{2} (768)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{8} + 32 x^{4} + 768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.4.2

Réécrivez $x^{8}$ comme ${(x^{4})}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 {(x^{4})}^{2} + 32 x^{4} + 768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.4.3

Laissez $u = x^{4}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{4}$ par $u$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 u^{2} + 32 u + 768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.4.4

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.10.4.4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 5 \cdot 768 = - 3840$ et dont la somme est $b = 32$ .

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Étape 2.10.4.4.1.1

Factorisez $32$ à partir de $32 u$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 u^{2} + 32 (u) + 768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.4.4.1.2

Réécrivez $32$ comme $- 48$ plus $80$

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 u^{2} + (- 48 + 80) u + 768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.4.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 u^{2} - 48 u + 80 u + 768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.4.4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.10.4.4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} ((- 5 u^{2} - 48 u) + 80 u + 768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.4.4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (u (- 5 u - 48) - 16 (- 5 u - 48))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.4.4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- 5 u - 48$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} ((- 5 u - 48) (u - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.4.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} ((- 5 x^{4} - 48) (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.4.6

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} ((- 5 x^{4} - 48) ({(x^{2})}^{2} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.4.7

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} ((- 5 x^{4} - 48) ({(x^{2})}^{2} - 4^{2}))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.4.8

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{2}$ et $b = 4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} ((- 5 x^{4} - 48) ((x^{2} + 4) (x^{2} - 4)))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.4.9

Factorisez.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.10.5.1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{({(x^{2})}^{2} - 16)}^{4}}$

Étape 2.10.5.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{4}}$

Étape 2.10.5.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{2}$ et $b = 4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{4}}$

Étape 2.10.5.4

Simplifiez

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Étape 2.10.5.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{4}}$

Étape 2.10.5.4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{4}}$

Étape 2.10.5.5

Appliquez la règle de produit à $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{((x^{2} + 4) (x + 2))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Étape 2.10.5.6

Développez $(x^{2} + 4) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.10.5.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} (x + 2) + 4 (x + 2))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Étape 2.10.5.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 4 (x + 2))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Étape 2.10.5.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Étape 2.10.5.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.10.5.7.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.10.5.7.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 2.10.5.7.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Étape 2.10.5.7.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Étape 2.10.5.7.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{3} + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Étape 2.10.5.7.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{3} + 2 \cdot x^{2} + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Étape 2.10.5.7.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 8)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Étape 2.10.5.8

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.10.5.8.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{((x^{3} + 2 x^{2}) + 4 x + 8)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Étape 2.10.5.8.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} (x + 2) + 4 (x + 2))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Étape 2.10.5.9

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + 2$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{((x + 2) (x^{2} + 4))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Étape 2.10.5.10

Appliquez la règle de produit à $(x + 2) (x^{2} + 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Étape 2.10.6

Annulez le facteur commun à $x^{2} + 4$ et ${(x^{2} + 4)}^{4}$ .

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Étape 2.10.6.1

Factorisez $x^{2} + 4$ à partir de $8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) ((8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x + 2)) (x - 2))}{{(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Étape 2.10.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.10.6.2.1

Factorisez $x^{2} + 4$ à partir de ${(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{4} {(x - 2)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) ((8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x + 2)) (x - 2))}{(x^{2} + 4) ({(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

Étape 2.10.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) ((8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x + 2)) (x - 2))}{(x^{2} + 4) ({(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

Étape 2.10.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - \frac{(8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x + 2)) (x - 2)}{{(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

Étape 2.10.7

Annulez le facteur commun à $x + 2$ et ${(x + 2)}^{4}$ .

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Étape 2.10.7.1

Factorisez $x + 2$ à partir de $(8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x + 2)) (x - 2)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x + 2) ((8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48)) (x - 2))}{{(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

Étape 2.10.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.10.7.2.1

Factorisez $x + 2$ à partir de ${(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x + 2) ((8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48)) (x - 2))}{(x + 2) ({(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

Étape 2.10.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - \frac{(x + 2) ((8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48)) (x - 2))}{(x + 2) ({(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

Étape 2.10.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - \frac{(8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48)) (x - 2)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

Étape 2.10.8

Annulez le facteur commun à $x - 2$ et ${(x - 2)}^{4}$ .

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Étape 2.10.8.1

Factorisez $x - 2$ à partir de $(8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48)) (x - 2)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 2) (8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48))}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

Étape 2.10.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.10.8.2.1

Factorisez $x - 2$ à partir de ${(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 2) (8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48))}{(x - 2) ({(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3})}$

Étape 2.10.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - \frac{(x - 2) (8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48))}{(x - 2) ({(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3})}$

Étape 2.10.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Étape 2.10.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- (5 x^{4}) - 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Étape 2.10.10

Réécrivez $- 48$ comme $- 1 (48)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- (5 x^{4}) - 1 \cdot 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Étape 2.10.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 x^{4}) - 1 (48)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- (5 x^{4} + 48))}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Étape 2.10.12

Réécrivez $- (5 x^{4} + 48)$ comme $- 1 (5 x^{4} + 48)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 1 (5 x^{4} + 48))}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Étape 2.10.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{(8 x^{2}) (5 x^{4} + 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Étape 2.10.14

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{(8 x^{2}) (5 x^{4} + 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}})$

Étape 2.10.15

Multipliez $\frac{(8 x^{2}) (5 x^{4} + 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{(8 x^{2}) (5 x^{4} + 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Étape 2.10.16

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{(8 x^{2}) (5 x^{4} + 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} (5 x^{4} + 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 4.1.1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{x^{4} - 16}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$

Étape 4.1.1.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{4} - 16}$ comme ${(x^{4} - 16)}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{4} - 16)}^{- 1}]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{4} - 16$ .

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Étape 4.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{4} - 16$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Étape 4.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4} - 16$ .

$2 (- {(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Étape 4.1.3

Différenciez.

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Étape 4.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 ({(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Étape 4.1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16])$

Étape 4.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16])$

Étape 4.1.3.4

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + 0)$

Étape 4.1.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.3.5.1

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3})$

Étape 4.1.3.5.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$- 8 {(x^{4} - 16)}^{- 2} x^{3}$

Étape 4.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Étape 4.1.5

Associez des termes.

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Étape 4.1.5.1

Associez $- 8$ et $\frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$\frac{- 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Étape 4.1.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Étape 4.1.5.3

Associez $x^{3}$ et $\frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Étape 4.1.5.4

Déplacez $8$ à gauche de $x^{3}$ .

$f' (x) = - \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$8 x^{3} = 0$

Étape 5.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $8 x^{3} = 0$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1.1

Divisez chaque terme dans $8 x^{3} = 0$ par $8$ .

$\frac{8 x^{3}}{8} = \frac{0}{8}$

Étape 5.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 5.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 x^{3}}{8} = \frac{0}{8}$

Étape 5.3.1.2.1.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{8}$

Étape 5.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1.3.1

Divisez $0$ par $8$ .

$x^{3} = 0$

Étape 5.3.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 5.3.3

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 5.3.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 5.3.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x^{4} - 16)}^{2} = 0$

Étape 6.2

Résolvez $x$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.2.1.1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

${({(x^{2})}^{2} - 16)}^{2} = 0$

Étape 6.2.1.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

${({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{2} = 0$

Étape 6.2.1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{2}$ et $b = 4$ .

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{2} = 0$

Étape 6.2.1.4

Simplifiez

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Étape 6.2.1.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{2} = 0$

Étape 6.2.1.4.2

Factorisez.

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Étape 6.2.1.4.2.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

${((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)))}^{2} = 0$

Étape 6.2.1.4.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

${((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

Étape 6.2.1.5

Appliquez la règle de produit à $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

${((x^{2} + 4) (x + 2))}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 6.2.1.6

Appliquez la règle de produit à $(x^{2} + 4) (x + 2)$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 6.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 6.2.3

Définissez ${(x^{2} + 4)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.2.3.1

Définissez ${(x^{2} + 4)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

Étape 6.2.3.2

Résolvez ${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.3.2.1

Définissez le $x^{2} + 4$ égal à $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Étape 6.2.3.2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 6.2.3.2.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 4$

Étape 6.2.3.2.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Étape 6.2.3.2.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Étape 6.2.3.2.2.3.1

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Étape 6.2.3.2.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (4)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Étape 6.2.3.2.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Étape 6.2.3.2.2.3.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Étape 6.2.3.2.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \cdot 2$

Étape 6.2.3.2.2.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Étape 6.2.3.2.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.2.3.2.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2 i$

Étape 6.2.3.2.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2 i$

Étape 6.2.3.2.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2 i, - 2 i$

Étape 6.2.4

Définissez ${(x + 2)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.2.4.1

Définissez ${(x + 2)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Étape 6.2.4.2

Résolvez ${(x + 2)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.4.2.1

Définissez le $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 6.2.4.2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 6.2.5

Définissez ${(x - 2)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.2.5.1

Définissez ${(x - 2)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 6.2.5.2

Résolvez ${(x - 2)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.5.2.1

Définissez le $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 6.2.5.2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 6.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ vraie.

$x = 2 i, - 2 i, - 2, 2$

Étape 6.3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{8 {(0)}^{2} (5 {(0)}^{4} + 48)}{{((0) + 2)}^{3} {({(0)}^{2} + 4)}^{3} {((0) - 2)}^{3}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{8 \cdot 0^{2} (5 \cdot 0 + 48)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Étape 9.1.2

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{8 \cdot 0^{2} (0 + 48)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Étape 9.1.3

Additionnez $0$ et $48$ .

$\frac{8 \cdot 0^{2} \cdot 48}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Étape 9.1.4

Multipliez $48$ par $8$ .

$\frac{384 \cdot 0^{2}}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Étape 9.1.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{384 \cdot 0}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1

Réécrivez $0$ comme $- 1 (0)$ .

$\frac{384 \cdot 0}{{(- 1 (0) + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Étape 9.2.2

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$\frac{384 \cdot 0}{{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Étape 9.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 2$ .

$\frac{384 \cdot 0}{{(- 1 \cdot (0 - 2))}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Étape 9.2.4

Appliquez la règle de produit à $- 1 \cdot (0 - 2)$ .

$\frac{384 \cdot 0}{{(- 1)}^{3} \cdot {(0 - 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Étape 9.2.5

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{384 \cdot 0}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Étape 9.2.6

Multipliez ${(0 - 2)}^{3}$ par ${(0 - 2)}^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.2.6.1

Déplacez ${(0 - 2)}^{3}$ .

$\frac{384 \cdot 0}{- 1 \cdot ({(0 - 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}) {(0^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.2.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{384 \cdot 0}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{3 + 3} {(0^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.2.6.3

Additionnez $3$ et $3$ .

$\frac{384 \cdot 0}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{6} {(0^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.3

Multipliez $384$ par $0$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{6} {(0^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.4.1

Soustrayez $2$ de $0$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot {(- 2)}^{6} {(0^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.4.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot {(- 2)}^{6} {(0 + 4)}^{3}}$

Étape 9.4.3

Additionnez $0$ et $4$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot {(- 2)}^{6} \cdot 4^{3}}$

Étape 9.4.4

Associez les exposants.

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Étape 9.4.4.1

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot {(- 1 (2))}^{6} \cdot 4^{3}}$

Étape 9.4.4.2

Appliquez la règle de produit à $- 1 (2)$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot ({(- 1)}^{6} \cdot 2^{6}) \cdot 4^{3}}$

Étape 9.4.4.3

Élevez $- 1$ à la puissance $6$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot (1 \cdot 2^{6}) \cdot 4^{3}}$

Étape 9.4.4.4

Multipliez $2^{6}$ par $1$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 2^{6} \cdot 4^{3}}$

Étape 9.4.4.5

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot ({(2^{2})}^{3} \cdot 2^{6})}$

Étape 9.4.4.6

Multipliez les exposants dans ${(2^{2})}^{3}$ .

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Étape 9.4.4.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot (2^{2 \cdot 3} \cdot 2^{6})}$

Étape 9.4.4.6.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot (2^{6} \cdot 2^{6})}$

Étape 9.4.4.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{0}{- 1 \cdot 2^{6 + 6}}$

Étape 9.4.4.8

Additionnez $6$ et $6$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 2^{12}}$

Étape 9.4.5

Élevez $2$ à la puissance $12$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 4096}$

Étape 9.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.5.1

Multipliez $- 1$ par $4096$ .

$\frac{0}{- 4096}$

Étape 9.5.2

Divisez $0$ par $- 4096$ .

$0$

Étape 10

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 10.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 10.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 4$ , de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée première $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f' (- 4) = - \frac{8 {(- 4)}^{3}}{{({(- 4)}^{4} - 16)}^{2}}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.2.1

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$f' (- 4) = - \frac{8 \cdot - 64}{{({(- 4)}^{4} - 16)}^{2}}$

Étape 10.2.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.2.2.1

Élevez $- 4$ à la puissance $4$ .

$f' (- 4) = - \frac{8 \cdot - 64}{{(256 - 16)}^{2}}$

Étape 10.2.2.2.2

Soustrayez $16$ de $256$ .

$f' (- 4) = - \frac{8 \cdot - 64}{240^{2}}$

Étape 10.2.2.2.3

Élevez $240$ à la puissance $2$ .

$f' (- 4) = - \frac{8 \cdot - 64}{57600}$

Étape 10.2.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 10.2.2.3.1

Multipliez $8$ par $- 64$ .

$f' (- 4) = - \frac{- 512}{57600}$

Étape 10.2.2.3.2

Annulez le facteur commun à $- 512$ et $57600$ .

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Étape 10.2.2.3.2.1

Factorisez $256$ à partir de $- 512$ .

$f' (- 4) = - \frac{256 (- 2)}{57600}$

Étape 10.2.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.2.3.2.2.1

Factorisez $256$ à partir de $57600$ .

$f' (- 4) = - \frac{256 \cdot - 2}{256 \cdot 225}$

Étape 10.2.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (- 4) = - \frac{256 \cdot - 2}{256 \cdot 225}$

Étape 10.2.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (- 4) = - \frac{- 2}{225}$

Étape 10.2.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 4) = \frac{2}{225}$

Étape 10.2.2.4

La réponse finale est $\frac{2}{225}$ .

$\frac{2}{225}$

Étape 10.3

Remplacez tout nombre, tel que $1$ , de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée première $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.3.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = - \frac{8 {(1)}^{3}}{{({(1)}^{4} - 16)}^{2}}$

Étape 10.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.3.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = - \frac{8 \cdot 1}{{(1^{4} - 16)}^{2}}$

Étape 10.3.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.3.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = - \frac{8 \cdot 1}{{(1 - 16)}^{2}}$

Étape 10.3.2.2.2

Soustrayez $16$ de $1$ .

$f' (1) = - \frac{8 \cdot 1}{{(- 15)}^{2}}$

Étape 10.3.2.2.3

Élevez $- 15$ à la puissance $2$ .

$f' (1) = - \frac{8 \cdot 1}{225}$

Étape 10.3.2.3

Multipliez $8$ par $1$ .

$f' (1) = - \frac{8}{225}$

Étape 10.3.2.4

La réponse finale est $- \frac{8}{225}$ .

$- \frac{8}{225}$

Étape 10.4

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = 0$ , $x = 0$ est un maximum local.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 11