Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{x^{2} - 25}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} - 25}$ comme ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{2} - 25$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 25$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 25$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Étape 1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Étape 1.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Étape 1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Étape 1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Étape 1.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Étape 1.7

Associez les fractions.

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Étape 1.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Étape 1.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Étape 1.7.3

Placez ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Étape 1.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 25$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25])$

Étape 1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 25])$

Étape 1.10

Comme $- 25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Étape 1.11

Simplifiez les termes.

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Étape 1.11.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Étape 1.11.2

Associez $2$ et $\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} x$

Étape 1.11.3

Associez $\frac{2}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.11.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.11.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 25}$

Étape 2.3

Simplifiez

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 25}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 25}$

Étape 2.4.2

Multipliez ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 25}$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{2} - 25$ .

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Étape 2.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

Étape 2.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

Étape 2.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

Étape 2.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

Étape 2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

Étape 2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

Étape 2.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

Étape 2.10

Associez les fractions.

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Étape 2.10.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

Étape 2.10.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

Étape 2.10.3

Placez ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

Étape 2.10.4

Associez $\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)}{x^{2} - 25}$

Étape 2.11

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 25$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 25))}{x^{2} - 25}$

Étape 2.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 25))}{x^{2} - 25}$

Étape 2.13

Comme $- 25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)}{x^{2} - 25}$

Étape 2.14

Associez les fractions.

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Étape 2.14.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)}{x^{2} - 25}$

Étape 2.14.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} - 25}$

Étape 2.14.3

Associez $- 2$ et $\frac{x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} - 25}$

Étape 2.14.4

Associez $\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Étape 2.15

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Étape 2.16

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Étape 2.17

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Étape 2.18

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Étape 2.19

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Étape 2.20

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.20.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} - 25}$

Étape 2.20.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Étape 2.20.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Étape 2.21

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Étape 2.22

Pour écrire ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Étape 2.23

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Étape 2.24

Multipliez ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.24.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Étape 2.24.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Étape 2.24.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Étape 2.24.4

Divisez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{(x^{2} - 25) - x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Étape 2.25

Simplifiez ${(x^{2} - 25)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} - 25 - x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Étape 2.26

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{0 - 25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Étape 2.27

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.27.1

Soustrayez $25$ de $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Étape 2.27.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{- \frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Étape 2.28

Réécrivez $\frac{- \frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$ comme un produit.

$f'' (x) = - \frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} - 25}$

Étape 2.29

Multipliez $\frac{1}{x^{2} - 25}$ par $\frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{25}{(x^{2} - 25) {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.30

Multipliez $x^{2} - 25$ par ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.30.1

Multipliez $x^{2} - 25$ par ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.30.1.1

Élevez $x^{2} - 25$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{25}{(x^{2} - 25) {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.30.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Étape 2.30.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Étape 2.30.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Étape 2.30.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = - \frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} - 25}$ comme ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{2} - 25$ .

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Étape 4.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 25$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Étape 4.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 25$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Étape 4.1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Étape 4.1.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Étape 4.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Étape 4.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Étape 4.1.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Étape 4.1.7

Associez les fractions.

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Étape 4.1.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Étape 4.1.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Étape 4.1.7.3

Placez ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Étape 4.1.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 25$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25])$

Étape 4.1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 25])$

Étape 4.1.10

Comme $- 25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Étape 4.1.11

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1.11.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Étape 4.1.11.2

Associez $2$ et $\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} x$

Étape 4.1.11.3

Associez $\frac{2}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.11.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.11.5

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x = 0$

Étape 5.3

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ vrai.

$Aucune solution$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 6.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{x}{\sqrt{{(x^{2} - 25)}^{1}}}$

Étape 6.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 25}}$

Étape 6.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 25}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{x^{2} - 25} = 0$

Étape 6.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{x^{2} - 25}}^{2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} - 25}$ comme ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.2.1

Simplifiez ${({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x^{2} - 25)}^{1} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.2

Simplifiez

$x^{2} - 25 = 0^{2}$

Étape 6.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x^{2} - 25 = 0$

Étape 6.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.3.1

Ajoutez $25$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 25$

Étape 6.3.3.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{25}$

Étape 6.3.3.3

Simplifiez $\pm \sqrt{25}$ .

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Étape 6.3.3.3.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Étape 6.3.3.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 5$

Étape 6.3.3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.3.3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 5$

Étape 6.3.3.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 5$

Étape 6.3.3.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 5, - 5$

Étape 6.4

Définissez le radicande dans $\sqrt{x^{2} - 25}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} - 25 < 0$

Étape 6.5

Résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Ajoutez $25$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} < 25$

Étape 6.5.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt{x^{2}} < \sqrt{25}$

Étape 6.5.3

Simplifiez l’équation.

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Étape 6.5.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.5.3.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | < \sqrt{25}$

Étape 6.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.5.3.2.1

Simplifiez $\sqrt{25}$ .

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Étape 6.5.3.2.1.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$| x | < \sqrt{5^{2}}$

Étape 6.5.3.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | < | 5 |$

Étape 6.5.3.2.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $5$ est $5$ .

$| x | < 5$

Étape 6.5.4

Écrivez $| x | < 5$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 6.5.4.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 6.5.4.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x < 5$

Étape 6.5.4.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 6.5.4.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x < 5$

Étape 6.5.4.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x < 5 & x \geq 0 \\ - x < 5 & x < 0 \end{cases}$

Étape 6.5.5

Déterminez l’intersection de $x < 5$ et $x \geq 0$ .

$0 \leq x < 5$

Étape 6.5.6

Résolvez $- x < 5$ quand $x < 0$ .

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Étape 6.5.6.1

Divisez chaque terme dans $- x < 5$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.5.6.1.1

Divisez chaque terme dans $- x < 5$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{5}{- 1}$

Étape 6.5.6.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.5.6.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} > \frac{5}{- 1}$

Étape 6.5.6.1.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x > \frac{5}{- 1}$

Étape 6.5.6.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.5.6.1.3.1

Divisez $5$ par $- 1$ .

$x > - 5$

Étape 6.5.6.2

Déterminez l’intersection de $x > - 5$ et $x < 0$ .

$- 5 < x < 0$

Étape 6.5.7

Déterminez l’union des solutions.

$- 5 < x < 5$

Étape 6.6

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$- 5 \leq x \leq 5$

$[- 5, 5]$

$- 5 \leq x \leq 5$

$[- 5, 5]$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - 5, 5$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 5$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{25}{{({(- 5)}^{2} - 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$- \frac{25}{{(25 - 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.2

Soustrayez $25$ de $25$ .

$- \frac{25}{0^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.3

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$- \frac{25}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{25}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{25}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 9.2.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{25}{0^{3}}$

Étape 9.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{25}{0}$

Étape 9.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 10

Comme le test de la dérivée première a échoué, il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 11