Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} - 20 x^{3} + 28 x^{2} - 4$ , $[- 1, 2]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 20 x^{3} + 28 x^{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $- 20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 20 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 x^{3} - 20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $3$ par $- 20$ .

$4 x^{3} - 60 x^{2} + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [28 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $28$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $28 x^{2}$ par rapport à $x$ est $28 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 60 x^{2} + 28 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} - 60 x^{2} + 28 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $28$ .

$4 x^{3} - 60 x^{2} + 56 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.1.4.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x^{3} - 60 x^{2} + 56 x + 0$

Étape 1.1.1.4.2

Additionnez $4 x^{3} - 60 x^{2} + 56 x$ et $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 60 x^{2} + 56 x$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{3} - 60 x^{2} + 56 x$ .

$4 x^{3} - 60 x^{2} + 56 x$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} - 60 x^{2} + 56 x = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x^{3} - 60 x^{2} + 56 x = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3} - 60 x^{2} + 56 x$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 60 x^{2} + 56 x = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Factorisez $4 x$ à partir de $- 60 x^{2}$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 15 x) + 56 x = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Factorisez $4 x$ à partir de $56 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 15 x) + 4 x (14) = 0$

Étape 1.2.2.1.4

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 15 x)$ .

$4 x (x^{2} - 15 x) + 4 x (14) = 0$

Étape 1.2.2.1.5

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (x^{2} - 15 x) + 4 x (14)$ .

$4 x (x^{2} - 15 x + 14) = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez.

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Étape 1.2.2.2.1

Factorisez $x^{2} - 15 x + 14$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $14$ et dont la somme est $- 15$ .

$- 14, - 1$

Étape 1.2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$4 x ((x - 14) (x - 1)) = 0$

Étape 1.2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 x (x - 14) (x - 1) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 14 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $x - 14$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x - 14$ égal à $0$ .

$x - 14 = 0$

Étape 1.2.5.2

Ajoutez $14$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 14$

Étape 1.2.6

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 1.2.6.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 1.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 x (x - 14) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 0, 14, 1$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $x^{4} - 20 x^{3} + 28 x^{2} - 4$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{4} - 20 {(0)}^{3} + 28 {(0)}^{2} - 4$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 20 {(0)}^{3} + 28 {(0)}^{2} - 4$

Étape 1.4.1.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 20 \cdot 0 + 28 {(0)}^{2} - 4$

Étape 1.4.1.2.1.3

Multipliez $- 20$ par $0$ .

$0 + 0 + 28 {(0)}^{2} - 4$

Étape 1.4.1.2.1.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 0 + 28 \cdot 0 - 4$

Étape 1.4.1.2.1.5

Multipliez $28$ par $0$ .

$0 + 0 + 0 - 4$

Étape 1.4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.4.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 0 - 4$

Étape 1.4.1.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 - 4$

Étape 1.4.1.2.2.3

Soustrayez $4$ de $0$ .

$- 4$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = 14$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $14$ .

${(14)}^{4} - 20 {(14)}^{3} + 28 {(14)}^{2} - 4$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Élevez $14$ à la puissance $4$ .

$38416 - 20 {(14)}^{3} + 28 {(14)}^{2} - 4$

Étape 1.4.2.2.1.2

Élevez $14$ à la puissance $3$ .

$38416 - 20 \cdot 2744 + 28 {(14)}^{2} - 4$

Étape 1.4.2.2.1.3

Multipliez $- 20$ par $2744$ .

$38416 - 54880 + 28 {(14)}^{2} - 4$

Étape 1.4.2.2.1.4

Élevez $14$ à la puissance $2$ .

$38416 - 54880 + 28 \cdot 196 - 4$

Étape 1.4.2.2.1.5

Multipliez $28$ par $196$ .

$38416 - 54880 + 5488 - 4$

Étape 1.4.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.4.2.2.2.1

Soustrayez $54880$ de $38416$ .

$- 16464 + 5488 - 4$

Étape 1.4.2.2.2.2

Additionnez $- 16464$ et $5488$ .

$- 10976 - 4$

Étape 1.4.2.2.2.3

Soustrayez $4$ de $- 10976$ .

$- 10980$

Étape 1.4.3

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 1.4.3.1

Remplacez $x$ par $1$ .

${(1)}^{4} - 20 {(1)}^{3} + 28 {(1)}^{2} - 4$

Étape 1.4.3.2

Simplifiez

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Étape 1.4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.3.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - 20 {(1)}^{3} + 28 {(1)}^{2} - 4$

Étape 1.4.3.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - 20 \cdot 1 + 28 {(1)}^{2} - 4$

Étape 1.4.3.2.1.3

Multipliez $- 20$ par $1$ .

$1 - 20 + 28 {(1)}^{2} - 4$

Étape 1.4.3.2.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - 20 + 28 \cdot 1 - 4$

Étape 1.4.3.2.1.5

Multipliez $28$ par $1$ .

$1 - 20 + 28 - 4$

Étape 1.4.3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.4.3.2.2.1

Soustrayez $20$ de $1$ .

$- 19 + 28 - 4$

Étape 1.4.3.2.2.2

Additionnez $- 19$ et $28$ .

$9 - 4$

Étape 1.4.3.2.2.3

Soustrayez $4$ de $9$ .

$5$

Étape 1.4.4

Indiquez tous les points.

$(0, - 4), (14, - 10980), (1, 5)$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

$(0, - 4), (1, 5)$

Étape 3

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 3.1

Évaluez sur $x = - 1$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

${(- 1)}^{4} - 20 {(- 1)}^{3} + 28 {(- 1)}^{2} - 4$

Étape 3.1.2

Simplifiez

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$1 - 20 {(- 1)}^{3} + 28 {(- 1)}^{2} - 4$

Étape 3.1.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$1 - 20 \cdot - 1 + 28 {(- 1)}^{2} - 4$

Étape 3.1.2.1.3

Multipliez $- 20$ par $- 1$ .

$1 + 20 + 28 {(- 1)}^{2} - 4$

Étape 3.1.2.1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 + 20 + 28 \cdot 1 - 4$

Étape 3.1.2.1.5

Multipliez $28$ par $1$ .

$1 + 20 + 28 - 4$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.1.2.2.1

Additionnez $1$ et $20$ .

$21 + 28 - 4$

Étape 3.1.2.2.2

Additionnez $21$ et $28$ .

$49 - 4$

Étape 3.1.2.2.3

Soustrayez $4$ de $49$ .

$45$

Étape 3.2

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez $x$ par $2$ .

${(2)}^{4} - 20 {(2)}^{3} + 28 {(2)}^{2} - 4$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$16 - 20 {(2)}^{3} + 28 {(2)}^{2} - 4$

Étape 3.2.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$16 - 20 \cdot 8 + 28 {(2)}^{2} - 4$

Étape 3.2.2.1.3

Multipliez $- 20$ par $8$ .

$16 - 160 + 28 {(2)}^{2} - 4$

Étape 3.2.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$16 - 160 + 28 \cdot 4 - 4$

Étape 3.2.2.1.5

Multipliez $28$ par $4$ .

$16 - 160 + 112 - 4$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.2.2.2.1

Soustrayez $160$ de $16$ .

$- 144 + 112 - 4$

Étape 3.2.2.2.2

Additionnez $- 144$ et $112$ .

$- 32 - 4$

Étape 3.2.2.2.3

Soustrayez $4$ de $- 32$ .

$- 36$

Étape 3.3

Indiquez tous les points.

$(- 1, 45), (2, - 36)$

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(- 1, 45)$

Minimum absolu : $(2, - 36)$

Étape 5