Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 9 x^{\frac{2}{3}} - x$ on $0$ , $729$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 x^{\frac{2}{3}} - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$9 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.1.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$9 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.1.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$9 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$9 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$9 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.1.2.6.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$9 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.1.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$9 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.1.2.8

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$9 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.1.2.9

Associez $9$ et $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{9 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.1.2.10

Multipliez $2$ par $9$ .

$\frac{18 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.1.2.11

Placez $x^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{18}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.1.2.12

Factorisez $3$ à partir de $18$ .

$\frac{3 \cdot 6}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.1.2.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.2.13.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 6}{3 (x^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.1.2.13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 6}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.1.2.13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} - 1 \cdot 1$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} - 1$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} - 1$ .

$\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} - 1$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} - 1 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} - 1 = 0$

Étape 1.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} = 1$

Étape 1.2.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.2.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{\frac{1}{3}}, 1$

Étape 1.2.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{\frac{1}{3}}$

Étape 1.2.4

Multiplier chaque terme dans $\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} = 1$ par $x^{\frac{1}{3}}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 1.2.4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} = 1$ par $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 1.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$6 = 1 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 1.2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.3.1

Multipliez $x^{\frac{1}{3}}$ par $1$ .

$6 = x^{\frac{1}{3}}$

Étape 1.2.5

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.5.1

Réécrivez l’équation comme $x^{\frac{1}{3}} = 6$ .

$x^{\frac{1}{3}} = 6$

Étape 1.2.5.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 6^{3}$

Étape 1.2.5.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 1.2.5.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.5.3.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 1.2.5.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 1.2.5.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 6^{3}$

Étape 1.2.5.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.5.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 6^{3}$

Étape 1.2.5.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 6^{3}$

Étape 1.2.5.3.1.1.2

Simplifiez

$x = 6^{3}$

Étape 1.2.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.3.2.1

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$x = 216$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 1.3.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{6}{\sqrt[3]{x^{1}}} - 1$

Étape 1.3.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{6}{\sqrt[3]{x}} - 1$

Étape 1.3.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{6}{\sqrt[3]{x}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt[3]{x} = 0$

Étape 1.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 1.3.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = 0^{3}$

Étape 1.3.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 1.3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 1.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.3.2.2.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 1.3.3.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 1.3.3.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 1.3.3.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.3.3.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 1.3.3.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 0^{3}$

Étape 1.3.3.2.2.1.2

Simplifiez

$x = 0^{3}$

Étape 1.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x = 0$

Étape 1.4

Évaluez $9 x^{\frac{2}{3}} - x$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 216$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $216$ .

$9 {(216)}^{\frac{2}{3}} - (216)$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

Réécrivez $216$ comme $6^{3}$ .

$9 {(6^{3})}^{\frac{2}{3}} - (216)$

Étape 1.4.1.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \cdot 6^{3 (\frac{2}{3})} - (216)$

Étape 1.4.1.2.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.4.1.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$9 \cdot 6^{3 (\frac{2}{3})} - (216)$

Étape 1.4.1.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$9 \cdot 6^{2} - (216)$

Étape 1.4.1.2.1.4

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$9 \cdot 36 - (216)$

Étape 1.4.1.2.1.5

Multipliez $9$ par $36$ .

$324 - (216)$

Étape 1.4.1.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $216$ .

$324 - 216$

Étape 1.4.1.2.2

Soustrayez $216$ de $324$ .

$108$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$9 {(0)}^{\frac{2}{3}} - (0)$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$9 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}} - (0)$

Étape 1.4.2.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - (0)$

Étape 1.4.2.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - (0)$

Étape 1.4.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$9 \cdot 0^{2} - (0)$

Étape 1.4.2.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.2.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$9 \cdot 0 - (0)$

Étape 1.4.2.2.3.2

Multipliez $9$ par $0$ .

$0 - (0)$

Étape 1.4.2.2.3.3

Soustrayez $0$ de $0$ .

$0$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(216, 108), (0, 0)$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$9 {(0)}^{\frac{2}{3}} - (0)$

Étape 2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$9 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}} - (0)$

Étape 2.1.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - (0)$

Étape 2.1.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - (0)$

Étape 2.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$9 \cdot 0^{2} - (0)$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$9 \cdot 0 - (0)$

Étape 2.1.2.3.2

Multipliez $9$ par $0$ .

$0 - (0)$

Étape 2.1.2.3.3

Soustrayez $0$ de $0$ .

$0$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 729$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $729$ .

$9 {(729)}^{\frac{2}{3}} - (729)$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Réécrivez $729$ comme $9^{3}$ .

$9 {(9^{3})}^{\frac{2}{3}} - (729)$

Étape 2.2.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \cdot 9^{3 (\frac{2}{3})} - (729)$

Étape 2.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$9 \cdot 9^{3 (\frac{2}{3})} - (729)$

Étape 2.2.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$9 \cdot 9^{2} - (729)$

Étape 2.2.2.1.4

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$9 \cdot 81 - (729)$

Étape 2.2.2.1.5

Multipliez $9$ par $81$ .

$729 - (729)$

Étape 2.2.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $729$ .

$729 - 729$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $729$ de $729$ .

$0$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(0, 0), (729, 0)$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(216, 108)$

Minimum absolu : $(0, 0), (729, 0)$

Étape 4