Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{7}{x}$ , $x \geq 7$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{7}{x}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 1.1.1.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 1.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$7 (- x^{- 2})$

Étape 1.1.1.4

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$- 7 x^{- 2}$

Étape 1.1.1.5

Simplifiez

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Étape 1.1.1.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 7 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.5.2

Associez des termes.

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Étape 1.1.1.5.2.1

Associez $- 7$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 7}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{7}{x^{2}}$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{7}{x^{2}}$ .

$- \frac{7}{x^{2}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{7}{x^{2}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{7}{x^{2}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$7 = 0$

Étape 1.2.3

Comme $7 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{7}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 1.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.3.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 1.3.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 1.3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 1.3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 1.3.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{7}{x}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\frac{7}{0}$

Étape 1.4.1.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 1.5

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Aucun point critique n’a été trouvé

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = 7$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $7$ .

$\frac{7}{7}$

Étape 2.1.2

Divisez $7$ par $7$ .

$1$

Étape 2.2

Indiquez tous les points.

$(7, 1)$

Étape 3

Comme il n’y a pas de valeur de $x$ qui rende la dérivée première égale à $0$ , il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(7, 1)$

Aucun minimum absolu

Étape 5