Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 7 x^{2} + 1$ , $[- 1, 2]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x^{2}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$7 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $2$ par $7$ .

$14 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$14 x + 0$

Étape 1.1.1.3.2

Additionnez $14 x$ et $0$ .

$f' (x) = 14 x$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $14 x$ .

$14 x$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $14 x = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$14 x = 0$

Étape 1.2.2

Divisez chaque terme dans $14 x = 0$ par $14$ et simplifiez.

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Étape 1.2.2.1

Divisez chaque terme dans $14 x = 0$ par $14$ .

$\frac{14 x}{14} = \frac{0}{14}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $14$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{14 x}{14} = \frac{0}{14}$

Étape 1.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{14}$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.3.1

Divisez $0$ par $14$ .

$x = 0$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $7 x^{2} + 1$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$7 {(0)}^{2} + 1$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$7 \cdot 0 + 1$

Étape 1.4.1.2.1.2

Multipliez $7$ par $0$ .

$0 + 1$

Étape 1.4.1.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 1.4.2

Indiquez tous les points.

$(0, 1)$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = - 1$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

$7 {(- 1)}^{2} + 1$

Étape 2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$7 \cdot 1 + 1$

Étape 2.1.2.1.2

Multipliez $7$ par $1$ .

$7 + 1$

Étape 2.1.2.2

Additionnez $7$ et $1$ .

$8$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$7 {(2)}^{2} + 1$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$7 \cdot 4 + 1$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $7$ par $4$ .

$28 + 1$

Étape 2.2.2.2

Additionnez $28$ et $1$ .

$29$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(- 1, 8), (2, 29)$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(2, 29)$

Minimum absolu : $(0, 1)$

Étape 4