Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sin^{2} (x)$ on $[0, π]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 1.1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.1.1.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x)$

Étape 1.1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.1.3.1

Réorganisez les facteurs de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x)$

Étape 1.1.1.3.2

Remettez dans l’ordre $2 \cos (x)$ et $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x))$

Étape 1.1.1.3.3

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Étape 1.1.1.3.4

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$f' (x) = \sin (2 x)$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (2 x)$ .

$\sin (2 x)$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\sin (2 x) = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\sin (2 x) = 0$

Étape 1.2.2

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$2 x = \arcsin (0)$

Étape 1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$2 x = 0$

Étape 1.2.4

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.4.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Étape 1.2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$2 x = π - 0$

Étape 1.2.6

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Simplifiez

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Étape 1.2.6.1.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 x = π + 0$

Étape 1.2.6.1.2

Additionnez $π$ et $0$ .

$2 x = π$

Étape 1.2.6.2

Divisez chaque terme dans $2 x = π$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.6.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = π$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Étape 1.2.6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Étape 1.2.6.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 1.2.7

Déterminez la période de $\sin (2 x)$ .

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Étape 1.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 1.2.7.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 1.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 1.2.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 1.2.7.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 1.2.8

La période de la fonction $\sin (2 x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.2.9

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $\sin^{2} (x)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\sin^{2} (0)$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$0^{2}$

Étape 1.4.1.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = \frac{π}{2}$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{π}{2}$ .

$\sin^{2} (\frac{π}{2})$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$1^{2}$

Étape 1.4.2.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(0 + π n, 0), (\frac{π}{2} + π n, 1)$ , pour tout entier $n$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

$(\frac{π}{2}, 1)$

Étape 3

Utilisez le test de la dérivée afin de déterminer quels points peuvent être des maxima ou des minima.

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Étape 3.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, π) \cup (π, \infty)$

Étape 3.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée première $\sin (2 x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 3.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = \sin (2 (- 2))$

Étape 3.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.2.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f' (- 2) = \sin (- 4)$

Étape 3.2.2.2

Évaluez $\sin (- 4)$ .

$f' (- 2) = 0.75680249$

Étape 3.2.2.3

La réponse finale est $0.75680249$ .

$0.75680249$

Étape 3.3

Remplacez tout nombre, tel que $1$ , de l’intervalle $(0, \frac{π}{2})$ dans la dérivée première $\sin (2 x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = \sin (2 (1))$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$f' (1) = \sin (2)$

Étape 3.3.2.2

Évaluez $\sin (2)$ .

$f' (1) = 0.90929742$

Étape 3.3.2.3

La réponse finale est $0.90929742$ .

$0.90929742$

Étape 3.4

Remplacez tout nombre, tel que $2$ , de l’intervalle $(\frac{π}{2}, π)$ dans la dérivée première $\sin (2 x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 3.4.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = \sin (2 (2))$

Étape 3.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.4.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f' (2) = \sin (4)$

Étape 3.4.2.2

Évaluez $\sin (4)$ .

$f' (2) = - 0.75680249$

Étape 3.4.2.3

La réponse finale est $- 0.75680249$ .

$- 0.75680249$

Étape 3.5

Remplacez tout nombre, tel que $6$ , de l’intervalle $(π, \infty)$ dans la dérivée première $\sin (2 x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 3.5.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f' (6) = \sin (2 (6))$

Étape 3.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.5.2.1

Multipliez $2$ par $6$ .

$f' (6) = \sin (12)$

Étape 3.5.2.2

Évaluez $\sin (12)$ .

$f' (6) = - 0.53657291$

Étape 3.5.2.3

La réponse finale est $- 0.53657291$ .

$- 0.53657291$

Étape 3.6

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = 0$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 3.7

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = \frac{π}{2}$ , $x = \frac{π}{2}$ est un maximum local.

$x = \frac{π}{2}$ est un maximum local

Étape 3.8

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = π$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 3.9

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \sin^{2} (x)$ .

$x = \frac{π}{2}$ est un maximum local

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(\frac{π}{2}, 1)$

Aucun minimum absolu

Étape 5