Calcul infinitésimal Exemples

$h (x) = x^{\frac{1}{5}} - 8$ , $[- 32, 1]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{\frac{1}{5}} - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1} + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.1.1.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.1.1.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.1.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.1.1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.1.1.2.5.2

Soustrayez $5$ de $1$ .

$\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}} + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.1.1.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}} + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.1.1.3

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}} + 0$

Étape 1.1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}} + 0$

Étape 1.1.1.4.2

Associez des termes.

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Étape 1.1.1.4.2.1

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ .

$\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} + 0$

Étape 1.1.1.4.2.2

Additionnez $\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $h (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ .

$\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 = 0$

Étape 1.2.3

Comme $1 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{1}{5 \sqrt[5]{x^{4}}}$

Étape 1.3.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{5 \sqrt[5]{x^{4}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$5 \sqrt[5]{x^{4}} = 0$

Étape 1.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 1.3.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez les deux côtés de l’équation à la puissance $5$ .

${(5 \sqrt[5]{x^{4}})}^{5} = 0^{5}$

Étape 1.3.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 1.3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{x^{4}}$ comme $x^{\frac{4}{5}}$ .

${(5 x^{\frac{4}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Étape 1.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.3.2.2.1

Simplifiez ${(5 x^{\frac{4}{5}})}^{5}$ .

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Étape 1.3.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $5 x^{\frac{4}{5}}$ .

$5^{5} {(x^{\frac{4}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Étape 1.3.3.2.2.1.2

Élevez $5$ à la puissance $5$ .

$3125 {(x^{\frac{4}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Étape 1.3.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{4}{5}})}^{5}$ .

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Étape 1.3.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3125 x^{\frac{4}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Étape 1.3.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 1.3.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$3125 x^{\frac{4}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Étape 1.3.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$3125 x^{4} = 0^{5}$

Étape 1.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3125 x^{4} = 0$

Étape 1.3.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 1.3.3.3.1

Divisez chaque terme dans $3125 x^{4} = 0$ par $3125$ et simplifiez.

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Étape 1.3.3.3.1.1

Divisez chaque terme dans $3125 x^{4} = 0$ par $3125$ .

$\frac{3125 x^{4}}{3125} = \frac{0}{3125}$

Étape 1.3.3.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $3125$ .

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Étape 1.3.3.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3125 x^{4}}{3125} = \frac{0}{3125}$

Étape 1.3.3.3.1.2.1.2

Divisez $x^{4}$ par $1$ .

$x^{4} = \frac{0}{3125}$

Étape 1.3.3.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.3.3.1.3.1

Divisez $0$ par $3125$ .

$x^{4} = 0$

Étape 1.3.3.3.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Étape 1.3.3.3.3

Simplifiez $\pm \sqrt[4]{0}$ .

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Étape 1.3.3.3.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Étape 1.3.3.3.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 1.3.3.3.3.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 1.4

Évaluez $x^{\frac{1}{5}} - 8$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{\frac{1}{5}} - 8$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{5}$ .

${(0^{5})}^{\frac{1}{5}} - 8$

Étape 1.4.1.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{5 (\frac{1}{5})} - 8$

Étape 1.4.1.2.1.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 1.4.1.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$0^{5 (\frac{1}{5})} - 8$

Étape 1.4.1.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$0^{1} - 8$

Étape 1.4.1.2.1.4

Évaluez l’exposant.

$0 - 8$

Étape 1.4.1.2.2

Soustrayez $8$ de $0$ .

$- 8$

Étape 1.4.2

Indiquez tous les points.

$(0, - 8)$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = - 32$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $- 32$ .

${(- 32)}^{\frac{1}{5}} - 8$

Étape 2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Réécrivez $- 32$ comme ${(- 2)}^{5}$ .

${({(- 2)}^{5})}^{\frac{1}{5}} - 8$

Étape 2.1.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 2)}^{5 (\frac{1}{5})} - 8$

Étape 2.1.2.1.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.1.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

${(- 2)}^{5 (\frac{1}{5})} - 8$

Étape 2.1.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

${(- 2)}^{1} - 8$

Étape 2.1.2.1.4

Évaluez l’exposant.

$- 2 - 8$

Étape 2.1.2.2

Soustrayez $8$ de $- 2$ .

$- 10$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $1$ .

${(1)}^{\frac{1}{5}} - 8$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - 8$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $8$ de $1$ .

$- 7$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(- 32, - 10), (1, - 7)$

Étape 3

Comparez les valeurs $h (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $h (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $h (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(1, - 7)$

Minimum absolu : $(- 32, - 10)$

Étape 4