Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} - x - 3$ on $0$ , $3$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x - 1 + 0$

Étape 1.1.1.3.2

Additionnez $2 x - 1$ et $0$ .

$f' (x) = 2 x - 1$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 x - 1$ .

$2 x - 1$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x - 1 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Étape 1.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $x^{2} - x - 3$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{1}{2}$ .

${(\frac{1}{2})}^{2} - (\frac{1}{2}) - 3$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1^{2}}{2^{2}} - (\frac{1}{2}) - 3$

Étape 1.4.1.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2^{2}} - (\frac{1}{2}) - 3$

Étape 1.4.1.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 3$

Étape 1.4.1.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 1.4.1.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}) - 3$

Étape 1.4.1.2.2.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} - 3$

Étape 1.4.1.2.2.3

Écrivez $- 3$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{- 3}{1}$

Étape 1.4.1.2.2.4

Multipliez $\frac{- 3}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 1.4.1.2.2.5

Multipliez $\frac{- 3}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{- 3 \cdot 4}{4}$

Étape 1.4.1.2.2.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4}$

Étape 1.4.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - 2 - 3 \cdot 4}{4}$

Étape 1.4.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.1.2.4.1

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$\frac{1 - 2 - 12}{4}$

Étape 1.4.1.2.4.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{- 1 - 12}{4}$

Étape 1.4.1.2.4.3

Soustrayez $12$ de $- 1$ .

$\frac{- 13}{4}$

Étape 1.4.1.2.4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{13}{4}$

Étape 1.4.2

Indiquez tous les points.

$(\frac{1}{2}, - \frac{13}{4})$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{2} - (0) - 3$

Étape 2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - (0) - 3$

Étape 2.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 + 0 - 3$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 - 3$

Étape 2.1.2.2.2

Soustrayez $3$ de $0$ .

$- 3$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 3$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $3$ .

${(3)}^{2} - (3) - 3$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$9 - (3) - 3$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$9 - 3 - 3$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 2.2.2.2.1

Soustrayez $3$ de $9$ .

$6 - 3$

Étape 2.2.2.2.2

Soustrayez $3$ de $6$ .

$3$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(0, - 3), (3, 3)$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(3, 3)$

Minimum absolu : $(\frac{1}{2}, - \frac{13}{4})$

Étape 4