Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} - x - 1$ ; between $1$ and $2$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$3 x^{2} - 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} - 1 + 0$

Étape 1.1.1.3.2

Additionnez $3 x^{2} - 1$ et $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 1$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 1$ .

$3 x^{2} - 1$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 1 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 1 = 0$

Étape 1.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} = 1$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 1$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{3}$

Étape 1.2.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Étape 1.2.5

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 1.2.5.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Étape 1.2.5.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Étape 1.2.5.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 1.2.5.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.5.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 1.2.5.4.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 1.2.5.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 1.2.5.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 1.2.5.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 1.2.5.4.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.2.5.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.2.5.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.2.5.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.5.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.5.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.5.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 1.2.5.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 1.2.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 1.2.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 1.2.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $x^{3} - x - 1$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

${(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{3} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Étape 1.4.1.2.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.1.2.1.2.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{3}$ comme $\sqrt{3^{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3^{3}}}{3^{3}} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Étape 1.4.1.2.1.2.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{\sqrt{27}}{3^{3}} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Étape 1.4.1.2.1.2.3

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.4.1.2.1.2.3.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$\frac{\sqrt{9 (3)}}{3^{3}} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Étape 1.4.1.2.1.2.3.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Étape 1.4.1.2.1.2.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{3 \sqrt{3}}{3^{3}} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Étape 1.4.1.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{27} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Étape 1.4.1.2.1.4

Annulez le facteur commun à $3$ et $27$ .

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Étape 1.4.1.2.1.4.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 (\sqrt{3})}{27} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Étape 1.4.1.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.1.2.1.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Étape 1.4.1.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Étape 1.4.1.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{3}}{9} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

$\frac{\sqrt{3}}{9} - \frac{\sqrt{3}}{3} - 1$

Étape 1.4.1.2.2

Pour écrire $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{9} - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3} - 1$

Étape 1.4.1.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $9$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.4.1.2.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{9} - \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3} - 1$

Étape 1.4.1.2.3.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{3}}{9} - \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{9} - 1$

Étape 1.4.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3}{9} - 1$

Étape 1.4.1.2.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.1.2.5.1.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{\sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{9} - 1$

Étape 1.4.1.2.5.1.2

Soustrayez $3 \sqrt{3}$ de $\sqrt{3}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3}}{9} - 1$

Étape 1.4.1.2.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{9} - 1$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

${(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{3} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 1.4.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

${(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{3} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Étape 1.4.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

${(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Étape 1.4.2.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- \frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Étape 1.4.2.2.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.2.2.1.3.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{3}$ comme $\sqrt{3^{3}}$ .

$- \frac{\sqrt{3^{3}}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Étape 1.4.2.2.1.3.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$- \frac{\sqrt{27}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Étape 1.4.2.2.1.3.3

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.4.2.2.1.3.3.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$- \frac{\sqrt{9 (3)}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Étape 1.4.2.2.1.3.3.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Étape 1.4.2.2.1.3.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Étape 1.4.2.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$- \frac{3 \sqrt{3}}{27} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Étape 1.4.2.2.1.5

Annulez le facteur commun à $3$ et $27$ .

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Étape 1.4.2.2.1.5.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \sqrt{3}$ .

$- \frac{3 (\sqrt{3})}{27} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Étape 1.4.2.2.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.2.1.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Étape 1.4.2.2.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Étape 1.4.2.2.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{\sqrt{3}}{9} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Étape 1.4.2.2.1.6

Multipliez $- (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

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Étape 1.4.2.2.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{9} + 1 \frac{\sqrt{3}}{3} - 1$

Étape 1.4.2.2.1.6.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{3}$ par $1$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{9} + \frac{\sqrt{3}}{3} - 1$

Étape 1.4.2.2.2

Pour écrire $\frac{\sqrt{3}}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{9} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3} - 1$

Étape 1.4.2.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $9$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.4.2.2.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{9} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3} - 1$

Étape 1.4.2.2.3.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{9} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{9} - 1$

Étape 1.4.2.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.2.2.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3}{9} - 1$

Étape 1.4.2.2.4.2

Réorganisez les facteurs de $\sqrt{3} \cdot 3$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{9} - 1$

Étape 1.4.2.2.5

Additionnez $- \sqrt{3}$ et $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{9} - 1$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{9} - 1), (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{9} - 1)$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

Étape 3

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 3.1

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez $x$ par $1$ .

${(1)}^{3} - (1) - 1$

Étape 3.1.2

Simplifiez

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - (1) - 1$

Étape 3.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 - 1 - 1$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 3.1.2.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$0 - 1$

Étape 3.1.2.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- 1$

Étape 3.2

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez $x$ par $2$ .

${(2)}^{3} - (2) - 1$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 - (2) - 1$

Étape 3.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$8 - 2 - 1$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 3.2.2.2.1

Soustrayez $2$ de $8$ .

$6 - 1$

Étape 3.2.2.2.2

Soustrayez $1$ de $6$ .

$5$

Étape 3.3

Indiquez tous les points.

$(1, - 1), (2, 5)$

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(2, 5)$

Minimum absolu : $(1, - 1)$

Étape 5