Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - x^{3} + 8 x^{2} - 15 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{3} + 8 x^{2} - 15 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Étape 1.2.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{2}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 3 x^{2} + 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $8$ .

$- 3 x^{2} + 16 x + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 15 x]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $- 15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 15 x$ par rapport à $x$ est $- 15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x^{2} + 16 x - 15 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3 x^{2} + 16 x - 15 \cdot 1$

Étape 1.4.3

Multipliez $- 15$ par $1$ .

$- 3 x^{2} + 16 x - 15$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 x^{2} + 16 x - 15$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 x$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 x + 16 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 15)$

Étape 2.3.3

Multipliez $16$ par $1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 16 + \frac{d}{d x} (- 15)$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $- 15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 15$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 16 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $- 6 x + 16$ et $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 16$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 3 x^{2} + 16 x - 15 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{3} + 8 x^{2} - 15 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{2}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 3 x^{2} + 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $2$ par $8$ .

$- 3 x^{2} + 16 x + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Étape 4.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 15 x]$ .

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Étape 4.1.4.1

Comme $- 15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 15 x$ par rapport à $x$ est $- 15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x^{2} + 16 x - 15 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3 x^{2} + 16 x - 15 \cdot 1$

Étape 4.1.4.3

Multipliez $- 15$ par $1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 16 x - 15$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 x^{2} + 16 x - 15$ .

$- 3 x^{2} + 16 x - 15$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 3 x^{2} + 16 x - 15 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 3 x^{2} + 16 x - 15 = 0$

Étape 5.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.3

Remplacez les valeurs $a = - 3$ , $b = 16$ et $c = - 15$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot - 15)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 5.4

Simplifiez

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Étape 5.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.1.1

Élevez $16$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot - 3 \cdot - 15}}{2 \cdot - 3}$

Étape 5.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 3 \cdot - 15$ .

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Étape 5.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 + 12 \cdot - 15}}{2 \cdot - 3}$

Étape 5.4.1.2.2

Multipliez $12$ par $- 15$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 180}}{2 \cdot - 3}$

Étape 5.4.1.3

Soustrayez $180$ de $256$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot - 3}$

Étape 5.4.1.4

Réécrivez $76$ comme $2^{2} \cdot 19$ .

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Étape 5.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $76$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 5.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot - 3}$

Étape 5.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot - 3}$

Étape 5.4.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$x = \frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{- 6}$

Étape 5.4.3

Simplifiez $\frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{- 6}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{19}}{3}$

Étape 5.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 5.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.1.1

Élevez $16$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot - 3 \cdot - 15}}{2 \cdot - 3}$

Étape 5.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 3 \cdot - 15$ .

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Étape 5.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 + 12 \cdot - 15}}{2 \cdot - 3}$

Étape 5.5.1.2.2

Multipliez $12$ par $- 15$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 180}}{2 \cdot - 3}$

Étape 5.5.1.3

Soustrayez $180$ de $256$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot - 3}$

Étape 5.5.1.4

Réécrivez $76$ comme $2^{2} \cdot 19$ .

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Étape 5.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $76$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 5.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot - 3}$

Étape 5.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot - 3}$

Étape 5.5.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$x = \frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{- 6}$

Étape 5.5.3

Simplifiez $\frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{- 6}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{19}}{3}$

Étape 5.5.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Étape 5.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 5.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.6.1.1

Élevez $16$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot - 3 \cdot - 15}}{2 \cdot - 3}$

Étape 5.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 3 \cdot - 15$ .

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Étape 5.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 + 12 \cdot - 15}}{2 \cdot - 3}$

Étape 5.6.1.2.2

Multipliez $12$ par $- 15$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 180}}{2 \cdot - 3}$

Étape 5.6.1.3

Soustrayez $180$ de $256$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot - 3}$

Étape 5.6.1.4

Réécrivez $76$ comme $2^{2} \cdot 19$ .

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Étape 5.6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $76$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 5.6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot - 3}$

Étape 5.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot - 3}$

Étape 5.6.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$x = \frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{- 6}$

Étape 5.6.3

Simplifiez $\frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{- 6}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{19}}{3}$

Étape 5.6.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 5.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{8 + \sqrt{19}}{3}, \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{8 + \sqrt{19}}{3}, \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 6 \frac{8 + \sqrt{19}}{3} + 16$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 6$ .

$3 (- 2) \frac{8 + \sqrt{19}}{3} + 16$

Étape 9.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot - 2 \frac{8 + \sqrt{19}}{3} + 16$

Étape 9.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 (8 + \sqrt{19}) + 16$

Étape 9.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 \cdot 8 - 2 \sqrt{19} + 16$

Étape 9.1.3

Multipliez $- 2$ par $8$ .

$- 16 - 2 \sqrt{19} + 16$

Étape 9.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 9.2.1

Additionnez $- 16$ et $16$ .

$0 - 2 \sqrt{19}$

Étape 9.2.2

Soustrayez $2 \sqrt{19}$ de $0$ .

$- 2 \sqrt{19}$

Étape 10

$x = \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{8 + \sqrt{19}}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{3} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{8 + \sqrt{19}}{3}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{{(8 + \sqrt{19})}^{3}}{3^{3}} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Étape 11.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{{(8 + \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Étape 11.2.1.3

Utilisez le théorème du binôme.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8^{3} + 3 \cdot (8^{2} \sqrt{19}) + 3 \cdot (8 {\sqrt{19}}^{2}) + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Étape 11.2.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.4.1

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 3 \cdot (8^{2} \sqrt{19}) + 3 \cdot (8 {\sqrt{19}}^{2}) + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Étape 11.2.1.4.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 3 \cdot (64 \sqrt{19}) + 3 \cdot (8 {\sqrt{19}}^{2}) + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Étape 11.2.1.4.3

Multipliez $3$ par $64$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 3 \cdot (8 {\sqrt{19}}^{2}) + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Étape 11.2.1.4.4

Multipliez $3$ par $8$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 24 {\sqrt{19}}^{2} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Étape 11.2.1.4.5

Réécrivez ${\sqrt{19}}^{2}$ comme $19$ .

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Étape 11.2.1.4.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{19}$ comme $19^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 24 {(19^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Étape 11.2.1.4.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Étape 11.2.1.4.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Étape 11.2.1.4.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.1.4.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Étape 11.2.1.4.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19 + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Étape 11.2.1.4.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19 + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Étape 11.2.1.4.6

Multipliez $24$ par $19$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 456 + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Étape 11.2.1.4.7

Réécrivez ${\sqrt{19}}^{3}$ comme $\sqrt{19^{3}}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 456 + \sqrt{19^{3}}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Étape 11.2.1.4.8

Élevez $19$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 456 + \sqrt{6859}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Étape 11.2.1.4.9

Réécrivez $6859$ comme $19^{2} \cdot 19$ .

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Étape 11.2.1.4.9.1

Factorisez $361$ à partir de $6859$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 456 + \sqrt{361 (19)}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Étape 11.2.1.4.9.2

Réécrivez $361$ comme $19^{2}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 456 + \sqrt{19^{2} \cdot 19}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Étape 11.2.1.4.10

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 456 + 19 \sqrt{19}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Étape 11.2.1.5

Additionnez $512$ et $456$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 192 \sqrt{19} + 19 \sqrt{19}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Étape 11.2.1.6

Additionnez $192 \sqrt{19}$ et $19 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Étape 11.2.1.7

Appliquez la règle de produit à $\frac{8 + \sqrt{19}}{3}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{{(8 + \sqrt{19})}^{2}}{3^{2}}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Étape 11.2.1.8

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{{(8 + \sqrt{19})}^{2}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Étape 11.2.1.9

Réécrivez ${(8 + \sqrt{19})}^{2}$ comme $(8 + \sqrt{19}) (8 + \sqrt{19})$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{(8 + \sqrt{19}) (8 + \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Étape 11.2.1.10

Développez $(8 + \sqrt{19}) (8 + \sqrt{19})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 11.2.1.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{8 (8 + \sqrt{19}) + \sqrt{19} (8 + \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Étape 11.2.1.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{8 \cdot 8 + 8 \sqrt{19} + \sqrt{19} (8 + \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Étape 11.2.1.10.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{8 \cdot 8 + 8 \sqrt{19} + \sqrt{19} \cdot 8 + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Étape 11.2.1.11

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 11.2.1.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.11.1.1

Multipliez $8$ par $8$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 + 8 \sqrt{19} + \sqrt{19} \cdot 8 + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Étape 11.2.1.11.1.2

Déplacez $8$ à gauche de $\sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 + 8 \sqrt{19} + 8 \cdot \sqrt{19} + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Étape 11.2.1.11.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 + 8 \sqrt{19} + 8 \sqrt{19} + \sqrt{19 \cdot 19}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Étape 11.2.1.11.1.4

Multipliez $19$ par $19$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 + 8 \sqrt{19} + 8 \sqrt{19} + \sqrt{361}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Étape 11.2.1.11.1.5

Réécrivez $361$ comme $19^{2}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 + 8 \sqrt{19} + 8 \sqrt{19} + \sqrt{19^{2}}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Étape 11.2.1.11.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 + 8 \sqrt{19} + 8 \sqrt{19} + 19}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Étape 11.2.1.11.2

Additionnez $64$ et $19$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{83 + 8 \sqrt{19} + 8 \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Étape 11.2.1.11.3

Additionnez $8 \sqrt{19}$ et $8 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{83 + 16 \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Étape 11.2.1.12

Associez $8$ et $\frac{83 + 16 \sqrt{19}}{9}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Étape 11.2.1.13

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 11.2.1.13.1

Factorisez $3$ à partir de $- 15$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9} + 3 (- 5) (\frac{8 + \sqrt{19}}{3})$

Étape 11.2.1.13.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9} + 3 \cdot (- 5 \frac{8 + \sqrt{19}}{3})$

Étape 11.2.1.13.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9} - 5 (8 + \sqrt{19})$

Étape 11.2.1.14

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9} - 5 \cdot 8 - 5 \sqrt{19}$

Étape 11.2.1.15

Multipliez $- 5$ par $8$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Étape 11.2.2

Pour écrire $\frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9} \cdot \frac{3}{3} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Étape 11.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $27$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 11.2.3.1

Multipliez $\frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Étape 11.2.3.2

Multipliez $9$ par $3$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Étape 11.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- (968 + 211 \sqrt{19}) + 8 (83 + 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Étape 11.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 968 - (211 \sqrt{19}) + 8 (83 + 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Étape 11.2.5.2

Multipliez $- 1$ par $968$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - (211 \sqrt{19}) + 8 (83 + 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Étape 11.2.5.3

Multipliez $211$ par $- 1$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - 211 \sqrt{19} + 8 (83 + 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Étape 11.2.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - 211 \sqrt{19} + (8 \cdot 83 + 8 (16 \sqrt{19})) \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Étape 11.2.5.5

Multipliez $8$ par $83$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - 211 \sqrt{19} + (664 + 8 (16 \sqrt{19})) \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Étape 11.2.5.6

Multipliez $16$ par $8$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - 211 \sqrt{19} + (664 + 128 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Étape 11.2.5.7

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - 211 \sqrt{19} + 664 \cdot 3 + 128 \sqrt{19} \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Étape 11.2.5.8

Multipliez $664$ par $3$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - 211 \sqrt{19} + 1992 + 128 \sqrt{19} \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Étape 11.2.5.9

Multipliez $3$ par $128$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - 211 \sqrt{19} + 1992 + 384 \sqrt{19}}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Étape 11.2.5.10

Additionnez $- 968$ et $1992$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 - 211 \sqrt{19} + 384 \sqrt{19}}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Étape 11.2.5.11

Additionnez $- 211 \sqrt{19}$ et $384 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 + 173 \sqrt{19}}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Étape 11.2.6

Pour écrire $- 40$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 + 173 \sqrt{19}}{27} - 40 \cdot \frac{27}{27} - 5 \sqrt{19}$

Étape 11.2.7

Associez $- 40$ et $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 + 173 \sqrt{19}}{27} + \frac{- 40 \cdot 27}{27} - 5 \sqrt{19}$

Étape 11.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.2.8.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 + 173 \sqrt{19} - 40 \cdot 27}{27} - 5 \sqrt{19}$

Étape 11.2.8.2

Multipliez $- 40$ par $27$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 + 173 \sqrt{19} - 1080}{27} - 5 \sqrt{19}$

Étape 11.2.8.3

Soustrayez $1080$ de $1024$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 + 173 \sqrt{19}}{27} - 5 \sqrt{19}$

Étape 11.2.9

Pour écrire $- 5 \sqrt{19}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 + 173 \sqrt{19}}{27} - 5 \sqrt{19} \cdot \frac{27}{27}$

Étape 11.2.10

Associez les fractions.

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Étape 11.2.10.1

Associez $- 5 \sqrt{19}$ et $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 + 173 \sqrt{19}}{27} + \frac{- 5 \sqrt{19} \cdot 27}{27}$

Étape 11.2.10.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 + 173 \sqrt{19} - 5 \sqrt{19} \cdot 27}{27}$

Étape 11.2.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.11.1

Multipliez $27$ par $- 5$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 + 173 \sqrt{19} - 135 \sqrt{19}}{27}$

Étape 11.2.11.2

Soustrayez $135 \sqrt{19}$ de $173 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 + 38 \sqrt{19}}{27}$

Étape 11.2.12

Simplifiez en factorisant.

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Étape 11.2.12.1

Réécrivez $- 56$ comme $- 1 (56)$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 56 + 38 \sqrt{19}}{27}$

Étape 11.2.12.2

Factorisez $- 1$ à partir de $38 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 56 - (- 38 \sqrt{19})}{27}$

Étape 11.2.12.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (56) - (- 38 \sqrt{19})$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 (56 - 38 \sqrt{19})}{27}$

Étape 11.2.12.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{56 - 38 \sqrt{19}}{27}$

Étape 11.2.13

La réponse finale est $- \frac{56 - 38 \sqrt{19}}{27}$ .

$y = - \frac{56 - 38 \sqrt{19}}{27}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 6 \frac{8 - \sqrt{19}}{3} + 16$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 13.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 6$ .

$3 (- 2) \frac{8 - \sqrt{19}}{3} + 16$

Étape 13.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot - 2 \frac{8 - \sqrt{19}}{3} + 16$

Étape 13.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 (8 - \sqrt{19}) + 16$

Étape 13.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 \cdot 8 - 2 (- \sqrt{19}) + 16$

Étape 13.1.3

Multipliez $- 2$ par $8$ .

$- 16 - 2 (- \sqrt{19}) + 16$

Étape 13.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$- 16 + 2 \sqrt{19} + 16$

Étape 13.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 13.2.1

Additionnez $- 16$ et $16$ .

$0 + 2 \sqrt{19}$

Étape 13.2.2

Additionnez $0$ et $2 \sqrt{19}$ .

$2 \sqrt{19}$

Étape 14

$x = \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{8 - \sqrt{19}}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{3} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{8 - \sqrt{19}}{3}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{{(8 - \sqrt{19})}^{3}}{3^{3}} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{{(8 - \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.3

Utilisez le théorème du binôme.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8^{3} + 3 \cdot (8^{2} (- \sqrt{19})) + 3 \cdot (8 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.4.1

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 3 \cdot (8^{2} (- \sqrt{19})) + 3 \cdot (8 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.4.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 3 \cdot (64 (- \sqrt{19})) + 3 \cdot (8 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.4.3

Multipliez $3$ par $64$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 (- \sqrt{19}) + 3 \cdot (8 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.4.4

Multipliez $- 1$ par $192$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 3 \cdot (8 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.4.5

Multipliez $3$ par $8$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 {(- \sqrt{19})}^{2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.4.6

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{19}}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.4.7

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 (1 {\sqrt{19}}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.4.8

Multipliez ${\sqrt{19}}^{2}$ par $1$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 {\sqrt{19}}^{2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.4.9

Réécrivez ${\sqrt{19}}^{2}$ comme $19$ .

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Étape 15.2.1.4.9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{19}$ comme $19^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 {(19^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.4.9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.4.9.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.4.9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.1.4.9.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.4.9.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19 + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.4.9.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19 + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.4.10

Multipliez $24$ par $19$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.4.11

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.4.12

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 - {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.4.13

Réécrivez ${\sqrt{19}}^{3}$ comme $\sqrt{19^{3}}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 - \sqrt{19^{3}}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.4.14

Élevez $19$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 - \sqrt{6859}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.4.15

Réécrivez $6859$ comme $19^{2} \cdot 19$ .

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Étape 15.2.1.4.15.1

Factorisez $361$ à partir de $6859$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 - \sqrt{361 (19)}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.4.15.2

Réécrivez $361$ comme $19^{2}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 - \sqrt{19^{2} \cdot 19}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.4.16

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 - (19 \sqrt{19})}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.4.17

Multipliez $19$ par $- 1$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 - 19 \sqrt{19}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.5

Additionnez $512$ et $456$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 192 \sqrt{19} - 19 \sqrt{19}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.6

Soustrayez $19 \sqrt{19}$ de $- 192 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.7

Appliquez la règle de produit à $\frac{8 - \sqrt{19}}{3}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{{(8 - \sqrt{19})}^{2}}{3^{2}}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.8

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{{(8 - \sqrt{19})}^{2}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.9

Réécrivez ${(8 - \sqrt{19})}^{2}$ comme $(8 - \sqrt{19}) (8 - \sqrt{19})$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{(8 - \sqrt{19}) (8 - \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.10

Développez $(8 - \sqrt{19}) (8 - \sqrt{19})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 15.2.1.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{8 (8 - \sqrt{19}) - \sqrt{19} (8 - \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{8 \cdot 8 + 8 (- \sqrt{19}) - \sqrt{19} (8 - \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.10.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{8 \cdot 8 + 8 (- \sqrt{19}) - \sqrt{19} \cdot 8 - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.11

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 15.2.1.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.11.1.1

Multipliez $8$ par $8$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 + 8 (- \sqrt{19}) - \sqrt{19} \cdot 8 - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.11.1.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - \sqrt{19} \cdot 8 - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.11.1.3

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.11.1.4

Multipliez $- \sqrt{19} (- \sqrt{19})$ .

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Étape 15.2.1.11.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + 1 \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.11.1.4.2

Multipliez $\sqrt{19}$ par $1$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.11.1.4.3

Élevez $\sqrt{19}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.11.1.4.4

Élevez $\sqrt{19}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.11.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + {\sqrt{19}}^{1 + 1}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.11.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + {\sqrt{19}}^{2}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.11.1.5

Réécrivez ${\sqrt{19}}^{2}$ comme $19$ .

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Étape 15.2.1.11.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{19}$ comme $19^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + {(19^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.11.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + 19^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.11.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + 19^{\frac{2}{2}}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.11.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.1.11.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + 19^{\frac{2}{2}}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.11.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + 19}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.11.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + 19}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.11.2

Additionnez $64$ et $19$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{83 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.11.3

Soustrayez $8 \sqrt{19}$ de $- 8 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{83 - 16 \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.12

Associez $8$ et $\frac{83 - 16 \sqrt{19}}{9}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 15.2.1.13

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 15.2.1.13.1

Factorisez $3$ à partir de $- 15$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9} + 3 (- 5) (\frac{8 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 15.2.1.13.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9} + 3 \cdot (- 5 \frac{8 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 15.2.1.13.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9} - 5 (8 - \sqrt{19})$

Étape 15.2.1.14

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9} - 5 \cdot 8 - 5 (- \sqrt{19})$

Étape 15.2.1.15

Multipliez $- 5$ par $8$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9} - 40 - 5 (- \sqrt{19})$

Étape 15.2.1.16

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Étape 15.2.2

Pour écrire $\frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9} \cdot \frac{3}{3} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Étape 15.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $27$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 15.2.3.1

Multipliez $\frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Étape 15.2.3.2

Multipliez $9$ par $3$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Étape 15.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- (968 - 211 \sqrt{19}) + 8 (83 - 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Étape 15.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 968 - (- 211 \sqrt{19}) + 8 (83 - 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Étape 15.2.5.2

Multipliez $- 1$ par $968$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - (- 211 \sqrt{19}) + 8 (83 - 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Étape 15.2.5.3

Multipliez $- 211$ par $- 1$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 + 211 \sqrt{19} + 8 (83 - 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Étape 15.2.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 + 211 \sqrt{19} + (8 \cdot 83 + 8 (- 16 \sqrt{19})) \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Étape 15.2.5.5

Multipliez $8$ par $83$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 + 211 \sqrt{19} + (664 + 8 (- 16 \sqrt{19})) \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Étape 15.2.5.6

Multipliez $- 16$ par $8$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 + 211 \sqrt{19} + (664 - 128 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Étape 15.2.5.7

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 + 211 \sqrt{19} + 664 \cdot 3 - 128 \sqrt{19} \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Étape 15.2.5.8

Multipliez $664$ par $3$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 + 211 \sqrt{19} + 1992 - 128 \sqrt{19} \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Étape 15.2.5.9

Multipliez $3$ par $- 128$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 + 211 \sqrt{19} + 1992 - 384 \sqrt{19}}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Étape 15.2.5.10

Additionnez $- 968$ et $1992$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 + 211 \sqrt{19} - 384 \sqrt{19}}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Étape 15.2.5.11

Soustrayez $384 \sqrt{19}$ de $211 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 - 173 \sqrt{19}}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Étape 15.2.6

Pour écrire $- 40$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 - 173 \sqrt{19}}{27} - 40 \cdot \frac{27}{27} + 5 \sqrt{19}$

Étape 15.2.7

Associez $- 40$ et $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 - 173 \sqrt{19}}{27} + \frac{- 40 \cdot 27}{27} + 5 \sqrt{19}$

Étape 15.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 15.2.8.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 - 173 \sqrt{19} - 40 \cdot 27}{27} + 5 \sqrt{19}$

Étape 15.2.8.2

Multipliez $- 40$ par $27$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 - 173 \sqrt{19} - 1080}{27} + 5 \sqrt{19}$

Étape 15.2.8.3

Soustrayez $1080$ de $1024$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 - 173 \sqrt{19}}{27} + 5 \sqrt{19}$

Étape 15.2.9

Pour écrire $5 \sqrt{19}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 - 173 \sqrt{19}}{27} + 5 \sqrt{19} \cdot \frac{27}{27}$

Étape 15.2.10

Associez les fractions.

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Étape 15.2.10.1

Associez $5 \sqrt{19}$ et $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 - 173 \sqrt{19}}{27} + \frac{5 \sqrt{19} \cdot 27}{27}$

Étape 15.2.10.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 - 173 \sqrt{19} + 5 \sqrt{19} \cdot 27}{27}$

Étape 15.2.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.11.1

Multipliez $27$ par $5$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 - 173 \sqrt{19} + 135 \sqrt{19}}{27}$

Étape 15.2.11.2

Additionnez $- 173 \sqrt{19}$ et $135 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 - 38 \sqrt{19}}{27}$

Étape 15.2.12

Simplifiez en factorisant.

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Étape 15.2.12.1

Réécrivez $- 56$ comme $- 1 (56)$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 56 - 38 \sqrt{19}}{27}$

Étape 15.2.12.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 38 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 56 - (38 \sqrt{19})}{27}$

Étape 15.2.12.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (56) - (38 \sqrt{19})$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 (56 + 38 \sqrt{19})}{27}$

Étape 15.2.12.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{56 + 38 \sqrt{19}}{27}$

Étape 15.2.13

La réponse finale est $- \frac{56 + 38 \sqrt{19}}{27}$ .

$y = - \frac{56 + 38 \sqrt{19}}{27}$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = - x^{3} + 8 x^{2} - 15 x$ .

$(\frac{8 + \sqrt{19}}{3}, - \frac{56 - 38 \sqrt{19}}{27})$ est un maximum local

$(\frac{8 - \sqrt{19}}{3}, - \frac{56 + 38 \sqrt{19}}{27})$ est un minimum local

Étape 17