Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x - \frac{5}{x}$ on $5$ , $7$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - \frac{5}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{5}{x}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 - 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 1.1.1.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$2 - 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 1.1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$2 - 5 (- x^{- 2})$

Étape 1.1.1.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$2 + 5 x^{- 2}$

Étape 1.1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 + 5 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.4.2

Associez $5$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 + \frac{5}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{5}{x^{2}} + 2$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{5}{x^{2}} + 2$ .

$\frac{5}{x^{2}} + 2$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{5}{x^{2}} + 2 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{5}{x^{2}} + 2 = 0$

Étape 1.2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{5}{x^{2}} = - 2$

Étape 1.2.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.2.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{2}, 1$

Étape 1.2.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{2}$

Étape 1.2.4

Multiplier chaque terme dans $\frac{5}{x^{2}} = - 2$ par $x^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 1.2.4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{5}{x^{2}} = - 2$ par $x^{2}$ .

$\frac{5}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 1.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$5 = - 2 x^{2}$

Étape 1.2.5

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.5.1

Réécrivez l’équation comme $- 2 x^{2} = 5$ .

$- 2 x^{2} = 5$

Étape 1.2.5.2

Divisez chaque terme dans $- 2 x^{2} = 5$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x^{2} = 5$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{5}{- 2}$

Étape 1.2.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 1.2.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{5}{- 2}$

Étape 1.2.5.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{5}{- 2}$

Étape 1.2.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} = - \frac{5}{2}$

Étape 1.2.5.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- \frac{5}{2}}$

Étape 1.2.5.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{5}{2}}$ .

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Étape 1.2.5.4.1

Réécrivez $- 1$ comme $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{5}{2}}$

Étape 1.2.5.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{5}{2}}$

Étape 1.2.5.4.3

Réécrivez $\sqrt{\frac{5}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$

Étape 1.2.5.4.4

Multipliez $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Étape 1.2.5.4.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.5.4.5.1

Multipliez $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 1.2.5.4.5.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 1.2.5.4.5.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 1.2.5.4.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 1.2.5.4.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 1.2.5.4.5.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 1.2.5.4.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.2.5.4.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.2.5.4.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.5.4.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.5.4.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.5.4.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 1.2.5.4.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2}$

Étape 1.2.5.4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.4.6.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5 \cdot 2}}{2}$

Étape 1.2.5.4.6.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{10}}{2}$

Étape 1.2.5.4.7

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{10}}{2}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{10}}{2}$

Étape 1.2.5.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.5.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{i \sqrt{10}}{2}$

Étape 1.2.5.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{i \sqrt{10}}{2}$

Étape 1.2.5.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{i \sqrt{10}}{2}, - \frac{i \sqrt{10}}{2}$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{5}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 1.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.3.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 1.3.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 1.3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 1.3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 1.3.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 1.4

Évaluez $2 x - \frac{5}{x}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$2 (0) - \frac{5}{0}$

Étape 1.4.1.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 1.5

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Aucun point critique n’a été trouvé

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = 5$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $5$ .

$2 (5) - \frac{5}{5}$

Étape 2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$10 - \frac{5}{5}$

Étape 2.1.2.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.1.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$10 - \frac{5}{5}$

Étape 2.1.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$10 - 1 \cdot 1$

Étape 2.1.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$10 - 1$

Étape 2.1.2.2

Soustrayez $1$ de $10$ .

$9$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 7$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $7$ .

$2 (7) - \frac{5}{7}$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Multipliez $2$ par $7$ .

$14 - \frac{5}{7}$

Étape 2.2.2.2

Pour écrire $14$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$14 \cdot \frac{7}{7} - \frac{5}{7}$

Étape 2.2.2.3

Associez $14$ et $\frac{7}{7}$ .

$\frac{14 \cdot 7}{7} - \frac{5}{7}$

Étape 2.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{14 \cdot 7 - 5}{7}$

Étape 2.2.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.2.5.1

Multipliez $14$ par $7$ .

$\frac{98 - 5}{7}$

Étape 2.2.2.5.2

Soustrayez $5$ de $98$ .

$\frac{93}{7}$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(5, 9), (7, \frac{93}{7})$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(7, \frac{93}{7})$

Minimum absolu : $(5, 9)$

Étape 4