Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 3}$ , $- 1 \leq x \leq 2$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x + 1$ et $g (x) = x^{2} + 3$ .

$\frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.4.2

Multipliez $x^{2} + 3$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.7

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.2.8.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.8.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x + 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 3 + (- 2 x - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.3.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.1.3.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2} - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3.1.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3.2

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 3 - 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- x^{2} - 2 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.1.1.3.5.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ et dont la somme est $b = - 2$ .

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Étape 1.1.1.3.5.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{- x^{2} - 2 (x) + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.1.2

Réécrivez $- 2$ comme $1$ plus $- 3$

$\frac{- x^{2} + (1 - 3) x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x^{2} + 1 x - 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{- x^{2} + x - 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.1.1.3.5.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(- x^{2} + x) - 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (- x + 1) + 3 (- x + 1)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x + 1$ .

$\frac{(- x + 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{(- (x) + 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.7

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (- 1)) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.9

Réécrivez $- (x - 1)$ comme $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{- 1 (x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$- \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$(x - 1) (x + 3) = 0$

Étape 1.2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 1.2.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 1.2.3.2

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.3.2.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 1.2.3.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 1.2.3.3

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.3.3.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 1.2.3.3.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 1.2.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 1) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = 1, - 3$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $\frac{x + 1}{x^{2} + 3}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$\frac{(1) + 1}{{(1)}^{2} + 3}$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2}{1^{2} + 3}$

Étape 1.4.1.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.4.1.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{2}{1 + 3}$

Étape 1.4.1.2.2.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{2}{4}$

Étape 1.4.1.2.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 1.4.1.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

Étape 1.4.1.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.1.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 1.4.1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 1.4.1.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2}$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = - 3$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $- 3$ .

$\frac{(- 3) + 1}{{(- 3)}^{2} + 3}$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Additionnez $- 3$ et $1$ .

$\frac{- 2}{{(- 3)}^{2} + 3}$

Étape 1.4.2.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.4.2.2.2.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 2}{9 + 3}$

Étape 1.4.2.2.2.2

Additionnez $9$ et $3$ .

$\frac{- 2}{12}$

Étape 1.4.2.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $12$ .

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Étape 1.4.2.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{12}$

Étape 1.4.2.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 6}$

Étape 1.4.2.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 6}$

Étape 1.4.2.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{6}$

Étape 1.4.2.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{6}$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(1, \frac{1}{2}), (- 3, - \frac{1}{6})$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

$(1, \frac{1}{2})$

Étape 3

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 3.1

Évaluez sur $x = - 1$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

$\frac{(- 1) + 1}{{(- 1)}^{2} + 3}$

Étape 3.1.2

Simplifiez

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Étape 3.1.2.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{2} + 3}$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{1 + 3}$

Étape 3.1.2.2.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{0}{4}$

Étape 3.1.2.3

Divisez $0$ par $4$ .

$0$

Étape 3.2

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$\frac{(2) + 1}{{(2)}^{2} + 3}$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{3}{2^{2} + 3}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.2.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{3}{4 + 3}$

Étape 3.2.2.2.2

Additionnez $4$ et $3$ .

$\frac{3}{7}$

Étape 3.3

Indiquez tous les points.

$(- 1, 0), (2, \frac{3}{7})$

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(1, \frac{1}{2})$

Minimum absolu : $(- 1, 0)$

Étape 5