Calcul infinitésimal Exemples

$y = 4 \sqrt[3]{x - 1} - 3$ ; $[- 10, 10]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 \sqrt[3]{x - 1} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 \sqrt[3]{x - 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt[3]{x - 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 \sqrt[3]{x - 1}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x - 1}$ comme ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.1.2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = x - 1$ .

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Étape 1.1.1.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 1$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.1.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.1.2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.1.2.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.1.2.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.1.2.8

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.1.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.1.2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.2.10.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.1.2.10.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.1.2.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.1.2.12

Additionnez $1$ et $0$ .

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.1.2.13

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$4 (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.1.2.14

Multipliez $\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ par $1$ .

$4 \frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.1.2.15

Placez ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.1.2.16

Associez $4$ et $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} + 0$

Étape 1.1.1.3.2

Additionnez $\frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$4 = 0$

Étape 1.2.3

Comme $4 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{4}{3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}}$

Étape 1.3.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{4}{3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 1.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 1.3.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${(3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 1.3.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 1.3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}$ comme ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 1.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.3.2.2.1

Simplifiez ${(3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Étape 1.3.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 1.3.3.2.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 1.3.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Étape 1.3.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 1.3.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.3.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$27 {(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 1.3.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$27 {(x - 1)}^{2} = 0^{3}$

Étape 1.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$27 {(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 1.3.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 1.3.3.3.1

Divisez chaque terme dans $27 {(x - 1)}^{2} = 0$ par $27$ et simplifiez.

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Étape 1.3.3.3.1.1

Divisez chaque terme dans $27 {(x - 1)}^{2} = 0$ par $27$ .

$\frac{27 {(x - 1)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Étape 1.3.3.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $27$ .

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Étape 1.3.3.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{27 {(x - 1)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Étape 1.3.3.3.1.2.1.2

Divisez ${(x - 1)}^{2}$ par $1$ .

${(x - 1)}^{2} = \frac{0}{27}$

Étape 1.3.3.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.3.3.1.3.1

Divisez $0$ par $27$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 1.3.3.3.2

Définissez le $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 1.3.3.3.3

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 1.4

Évaluez $4 \sqrt[3]{x - 1} - 3$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$4 \sqrt[3]{(1) - 1} - 3$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$4 \sqrt[3]{0} - 3$

Étape 1.4.1.2.1.2

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$4 \sqrt[3]{0^{3}} - 3$

Étape 1.4.1.2.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$4 \cdot 0 - 3$

Étape 1.4.1.2.1.4

Multipliez $4$ par $0$ .

$0 - 3$

Étape 1.4.1.2.2

Soustrayez $3$ de $0$ .

$- 3$

Étape 1.4.2

Indiquez tous les points.

$(1, - 3)$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = - 10$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $- 10$ .

$4 \sqrt[3]{(- 10) - 1} - 3$

Étape 2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1

Soustrayez $1$ de $- 10$ .

$4 \sqrt[3]{- 11} - 3$

Étape 2.1.2.2

Réécrivez $- 11$ comme ${(- 1)}^{3} \cdot 11$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Réécrivez $- 11$ comme $- 1 (11)$ .

$4 \sqrt[3]{- 1 (11)} - 3$

Étape 2.1.2.2.2

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$4 \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 11} - 3$

Étape 2.1.2.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$4 (- 1 \sqrt[3]{11}) - 3$

Étape 2.1.2.4

Réécrivez $- 1 \sqrt[3]{11}$ comme $- \sqrt[3]{11}$ .

$4 (- \sqrt[3]{11}) - 3$

Étape 2.1.2.5

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 \sqrt[3]{11} - 3$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 10$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $10$ .

$4 \sqrt[3]{(10) - 1} - 3$

Étape 2.2.2

Soustrayez $1$ de $10$ .

$4 \sqrt[3]{9} - 3$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(- 10, - 4 \sqrt[3]{11} - 3), (10, 4 \sqrt[3]{9} - 3)$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(10, 4 \sqrt[3]{9} - 3)$

Minimum absolu : $(- 10, - 4 \sqrt[3]{11} - 3)$

Étape 4