Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{3} - 27 x^{2} + 108 x$ on $2$ , $7$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} - 27 x^{2} + 108 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 27 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 27$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 27 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 27 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 27 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 x^{2} - 27 (2 x) + \frac{d}{d x} [108 x]$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 27$ .

$6 x^{2} - 54 x + \frac{d}{d x} [108 x]$

Étape 1.1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [108 x]$ .

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Étape 1.1.1.4.1

Comme $108$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $108 x$ par rapport à $x$ est $108 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 54 x + 108 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x^{2} - 54 x + 108 \cdot 1$

Étape 1.1.1.4.3

Multipliez $108$ par $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 54 x + 108$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 x^{2} - 54 x + 108$ .

$6 x^{2} - 54 x + 108$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 x^{2} - 54 x + 108 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$6 x^{2} - 54 x + 108 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2} - 54 x + 108$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) - 54 x + 108 = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Factorisez $6$ à partir de $- 54 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (- 9 x) + 108 = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Factorisez $6$ à partir de $108$ .

$6 x^{2} + 6 (- 9 x) + 6 \cdot 18 = 0$

Étape 1.2.2.1.4

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2} + 6 (- 9 x)$ .

$6 (x^{2} - 9 x) + 6 \cdot 18 = 0$

Étape 1.2.2.1.5

Factorisez $6$ à partir de $6 (x^{2} - 9 x) + 6 \cdot 18$ .

$6 (x^{2} - 9 x + 18) = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez.

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Étape 1.2.2.2.1

Factorisez $x^{2} - 9 x + 18$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $18$ et dont la somme est $- 9$ .

$- 6, - 3$

Étape 1.2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$6 ((x - 6) (x - 3)) = 0$

Étape 1.2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$6 (x - 6) (x - 3) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 1.2.4.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 1.2.5

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 1.2.5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $6 (x - 6) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = 6, 3$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $2 x^{3} - 27 x^{2} + 108 x$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 6$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $6$ .

$2 {(6)}^{3} - 27 {(6)}^{2} + 108 (6)$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot 216 - 27 {(6)}^{2} + 108 (6)$

Étape 1.4.1.2.1.2

Multipliez $2$ par $216$ .

$432 - 27 {(6)}^{2} + 108 (6)$

Étape 1.4.1.2.1.3

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$432 - 27 \cdot 36 + 108 (6)$

Étape 1.4.1.2.1.4

Multipliez $- 27$ par $36$ .

$432 - 972 + 108 (6)$

Étape 1.4.1.2.1.5

Multipliez $108$ par $6$ .

$432 - 972 + 648$

Étape 1.4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.4.1.2.2.1

Soustrayez $972$ de $432$ .

$- 540 + 648$

Étape 1.4.1.2.2.2

Additionnez $- 540$ et $648$ .

$108$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = 3$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $3$ .

$2 {(3)}^{3} - 27 {(3)}^{2} + 108 (3)$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot 27 - 27 {(3)}^{2} + 108 (3)$

Étape 1.4.2.2.1.2

Multipliez $2$ par $27$ .

$54 - 27 {(3)}^{2} + 108 (3)$

Étape 1.4.2.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$54 - 27 \cdot 9 + 108 (3)$

Étape 1.4.2.2.1.4

Multipliez $- 27$ par $9$ .

$54 - 243 + 108 (3)$

Étape 1.4.2.2.1.5

Multipliez $108$ par $3$ .

$54 - 243 + 324$

Étape 1.4.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.4.2.2.2.1

Soustrayez $243$ de $54$ .

$- 189 + 324$

Étape 1.4.2.2.2.2

Additionnez $- 189$ et $324$ .

$135$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(6, 108), (3, 135)$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$2 {(2)}^{3} - 27 {(2)}^{2} + 108 (2)$

Étape 2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Multipliez $2$ par ${(2)}^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.1.1.1

Multipliez $2$ par ${(2)}^{3}$ .

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Étape 2.1.2.1.1.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$2^{1} {(2)}^{3} - 27 {(2)}^{2} + 108 (2)$

Étape 2.1.2.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2^{1 + 3} - 27 {(2)}^{2} + 108 (2)$

Étape 2.1.2.1.1.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$2^{4} - 27 {(2)}^{2} + 108 (2)$

Étape 2.1.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$16 - 27 {(2)}^{2} + 108 (2)$

Étape 2.1.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$16 - 27 \cdot 4 + 108 (2)$

Étape 2.1.2.1.4

Multipliez $- 27$ par $4$ .

$16 - 108 + 108 (2)$

Étape 2.1.2.1.5

Multipliez $108$ par $2$ .

$16 - 108 + 216$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.1.2.2.1

Soustrayez $108$ de $16$ .

$- 92 + 216$

Étape 2.1.2.2.2

Additionnez $- 92$ et $216$ .

$124$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 7$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $7$ .

$2 {(7)}^{3} - 27 {(7)}^{2} + 108 (7)$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot 343 - 27 {(7)}^{2} + 108 (7)$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $2$ par $343$ .

$686 - 27 {(7)}^{2} + 108 (7)$

Étape 2.2.2.1.3

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$686 - 27 \cdot 49 + 108 (7)$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $- 27$ par $49$ .

$686 - 1323 + 108 (7)$

Étape 2.2.2.1.5

Multipliez $108$ par $7$ .

$686 - 1323 + 756$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.2.2.2.1

Soustrayez $1323$ de $686$ .

$- 637 + 756$

Étape 2.2.2.2.2

Additionnez $- 637$ et $756$ .

$119$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(2, 124), (7, 119)$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(3, 135)$

Minimum absolu : $(6, 108)$

Étape 4