Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 6 x$ , $[- 2, 3]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 6 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.2.1

Comme $- \frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{3}{2} x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} - \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$3 x^{2} - 2 (\frac{3}{2}) x + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Étape 1.1.1.2.4

Associez $- 2$ et $\frac{3}{2}$ .

$3 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Étape 1.1.1.2.5

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$3 x^{2} + \frac{- 6}{2} x + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Étape 1.1.1.2.6

Associez $\frac{- 6}{2}$ et $x$ .

$3 x^{2} + \frac{- 6 x}{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Étape 1.1.1.2.7

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.2.7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6 x$ .

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Étape 1.1.1.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.2.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Étape 1.1.1.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Étape 1.1.1.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 x^{2} + \frac{- 3 x}{1} + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Étape 1.1.1.2.7.2.4

Divisez $- 3 x$ par $1$ .

$3 x^{2} - 3 x + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 3 x - 6 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - 3 x - 6 \cdot 1$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 x - 6$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 3 x - 6$ .

$3 x^{2} - 3 x - 6$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 3 x - 6 = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 3 x - 6 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} - 3 x - 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 3 x - 6 = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- x) - 6 = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Factorisez $3$ à partir de $- 6$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- x) + 3 (- 2) = 0$

Étape 1.2.2.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2}) + 3 (- x)$ .

$3 (x^{2} - x) + 3 (- 2) = 0$

Étape 1.2.2.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2} - x) + 3 (- 2)$ .

$3 (x^{2} - x - 2) = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.2.1

Factorisez $x^{2} - x - 2$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 2, 1$

Étape 1.2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$3 ((x - 2) (x + 1)) = 0$

Étape 1.2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3 (x - 2) (x + 1) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 1.2.4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 1.2.5

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 1.2.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 (x - 2) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 2, - 1$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 6 x$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $2$ .

${(2)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(2)}^{2} - 6 \cdot 2$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 - \frac{3}{2} \cdot {(2)}^{2} - 6 \cdot 2$

Étape 1.4.1.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{2}$ dans le numérateur.

$8 + \frac{- 3}{2} \cdot {(2)}^{2} - 6 \cdot 2$

Étape 1.4.1.2.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de ${(2)}^{2}$ .

$8 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot 2) - 6 \cdot 2$

Étape 1.4.1.2.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$8 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot 2) - 6 \cdot 2$

Étape 1.4.1.2.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$8 - 3 \cdot 2 - 6 \cdot 2$

Étape 1.4.1.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$8 - 6 - 6 \cdot 2$

Étape 1.4.1.2.1.4

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$8 - 6 - 12$

Étape 1.4.1.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.2.1

Soustrayez $6$ de $8$ .

$2 - 12$

Étape 1.4.1.2.2.2

Soustrayez $12$ de $2$ .

$- 10$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

${(- 1)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- 1 - \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1$

Étape 1.4.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.1.2.1

Déplacez ${(- 1)}^{2}$ .

$- 1 + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{3}{2} - 6 \cdot - 1$

Étape 1.4.2.2.1.2.2

Multipliez ${(- 1)}^{2}$ par $- 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.1.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$- 1 + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{3}{2} - 6 \cdot - 1$

Étape 1.4.2.2.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 1 + {(- 1)}^{2 + 1} \frac{3}{2} - 6 \cdot - 1$

Étape 1.4.2.2.1.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$- 1 + {(- 1)}^{3} \frac{3}{2} - 6 \cdot - 1$

Étape 1.4.2.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- 1 - \frac{3}{2} - 6 \cdot - 1$

Étape 1.4.2.2.1.4

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$- 1 - \frac{3}{2} + 6$

Étape 1.4.2.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.2.1

Écrivez $- 1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{- 1}{1} - \frac{3}{2} + 6$

Étape 1.4.2.2.2.2

Multipliez $\frac{- 1}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} + 6$

Étape 1.4.2.2.2.3

Multipliez $\frac{- 1}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2} + 6$

Étape 1.4.2.2.2.4

Écrivez $6$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2} + \frac{6}{1}$

Étape 1.4.2.2.2.5

Multipliez $\frac{6}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2} + \frac{6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.4.2.2.2.6

Multipliez $\frac{6}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2} + \frac{6 \cdot 2}{2}$

Étape 1.4.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1 \cdot 2 - 3 + 6 \cdot 2}{2}$

Étape 1.4.2.2.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2 - 3 + 6 \cdot 2}{2}$

Étape 1.4.2.2.4.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{- 2 - 3 + 12}{2}$

Étape 1.4.2.2.5

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.5.1

Soustrayez $3$ de $- 2$ .

$\frac{- 5 + 12}{2}$

Étape 1.4.2.2.5.2

Additionnez $- 5$ et $12$ .

$\frac{7}{2}$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(2, - 10), (- 1, \frac{7}{2})$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Évaluez sur $x = - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $- 2$ .

${(- 2)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2)}^{2} - 6 \cdot - 2$

Étape 2.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$- 8 - \frac{3}{2} \cdot {(- 2)}^{2} - 6 \cdot - 2$

Étape 2.1.2.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$- 8 - \frac{3}{2} \cdot 4 - 6 \cdot - 2$

Étape 2.1.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{2}$ dans le numérateur.

$- 8 + \frac{- 3}{2} \cdot 4 - 6 \cdot - 2$

Étape 2.1.2.1.3.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- 8 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (2)) - 6 \cdot - 2$

Étape 2.1.2.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$- 8 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot 2) - 6 \cdot - 2$

Étape 2.1.2.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$- 8 - 3 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Étape 2.1.2.1.4

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$- 8 - 6 - 6 \cdot - 2$

Étape 2.1.2.1.5

Multipliez $- 6$ par $- 2$ .

$- 8 - 6 + 12$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1

Soustrayez $6$ de $- 8$ .

$- 14 + 12$

Étape 2.1.2.2.2

Additionnez $- 14$ et $12$ .

$- 2$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $3$ .

${(3)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(3)}^{2} - 6 \cdot 3$

Étape 2.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 - \frac{3}{2} \cdot {(3)}^{2} - 6 \cdot 3$

Étape 2.2.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$27 - \frac{3}{2} \cdot 9 - 6 \cdot 3$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $- \frac{3}{2} \cdot 9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.3.1

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$27 - 9 (\frac{3}{2}) - 6 \cdot 3$

Étape 2.2.2.1.3.2

Associez $- 9$ et $\frac{3}{2}$ .

$27 + \frac{- 9 \cdot 3}{2} - 6 \cdot 3$

Étape 2.2.2.1.3.3

Multipliez $- 9$ par $3$ .

$27 + \frac{- 27}{2} - 6 \cdot 3$

Étape 2.2.2.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$27 - \frac{27}{2} - 6 \cdot 3$

Étape 2.2.2.1.5

Multipliez $- 6$ par $3$ .

$27 - \frac{27}{2} - 18$

Étape 2.2.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1

Écrivez $27$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{27}{1} - \frac{27}{2} - 18$

Étape 2.2.2.2.2

Multipliez $\frac{27}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{27}{2} - 18$

Étape 2.2.2.2.3

Multipliez $\frac{27}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27 \cdot 2}{2} - \frac{27}{2} - 18$

Étape 2.2.2.2.4

Écrivez $- 18$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{27 \cdot 2}{2} - \frac{27}{2} + \frac{- 18}{1}$

Étape 2.2.2.2.5

Multipliez $\frac{- 18}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27 \cdot 2}{2} - \frac{27}{2} + \frac{- 18}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 2.2.2.2.6

Multipliez $\frac{- 18}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27 \cdot 2}{2} - \frac{27}{2} + \frac{- 18 \cdot 2}{2}$

Étape 2.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{27 \cdot 2 - 27 - 18 \cdot 2}{2}$

Étape 2.2.2.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.4.1

Multipliez $27$ par $2$ .

$\frac{54 - 27 - 18 \cdot 2}{2}$

Étape 2.2.2.4.2

Multipliez $- 18$ par $2$ .

$\frac{54 - 27 - 36}{2}$

Étape 2.2.2.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.5.1

Soustrayez $27$ de $54$ .

$\frac{27 - 36}{2}$

Étape 2.2.2.5.2

Soustrayez $36$ de $27$ .

$\frac{- 9}{2}$

Étape 2.2.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{9}{2}$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(- 2, - 2), (3, - \frac{9}{2})$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(- 1, \frac{7}{2})$

Minimum absolu : $(2, - 10)$

Étape 4