Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ on $[0, 2]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 3 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$3 x^{2} - 3 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} - 3 + 0$

Étape 1.1.1.3.2

Additionnez $3 x^{2} - 3$ et $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 3$ .

$3 x^{2} - 3$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 3 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 3 = 0$

Étape 1.2.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} = 3$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 3$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 3$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{3}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Divisez $3$ par $3$ .

$x^{2} = 1$

Étape 1.2.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 1.2.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 1.2.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 1.2.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 1.2.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $x^{3} - 3 x + 1$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $1$ .

${(1)}^{3} - 3 \cdot 1 + 1$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - 3 \cdot 1 + 1$

Étape 1.4.1.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$1 - 3 + 1$

Étape 1.4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.4.1.2.2.1

Soustrayez $3$ de $1$ .

$- 2 + 1$

Étape 1.4.1.2.2.2

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$- 1$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = - 1$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

${(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1 + 1$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- 1 - 3 \cdot - 1 + 1$

Étape 1.4.2.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$- 1 + 3 + 1$

Étape 1.4.2.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 1.4.2.2.2.1

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$2 + 1$

Étape 1.4.2.2.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$3$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(1, - 1), (- 1, 3)$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

$(1, - 1)$

Étape 3

Utilisez le test de la dérivée afin de déterminer quels points peuvent être des maxima ou des minima.

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Étape 3.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 3.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 4$ , de l’intervalle $(- \infty, - 1)$ dans la dérivée première $3 x^{2} - 3$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 3.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f' (- 4) = 3 {(- 4)}^{2} - 3$

Étape 3.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f' (- 4) = 3 \cdot 16 - 3$

Étape 3.2.2.1.2

Multipliez $3$ par $16$ .

$f' (- 4) = 48 - 3$

Étape 3.2.2.2

Soustrayez $3$ de $48$ .

$f' (- 4) = 45$

Étape 3.2.2.3

La réponse finale est $45$ .

$45$

Étape 3.3

Remplacez tout nombre, tel que $0$ , de l’intervalle $(- 1, 1)$ dans la dérivée première $3 x^{2} - 3$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} - 3$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = 3 \cdot 0 - 3$

Étape 3.3.2.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$f' (0) = 0 - 3$

Étape 3.3.2.2

Soustrayez $3$ de $0$ .

$f' (0) = - 3$

Étape 3.3.2.3

La réponse finale est $- 3$ .

$- 3$

Étape 3.4

Remplacez tout nombre, tel que $4$ , de l’intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée première $3 x^{2} - 3$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 3.4.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = 3 {(4)}^{2} - 3$

Étape 3.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f' (4) = 3 \cdot 16 - 3$

Étape 3.4.2.1.2

Multipliez $3$ par $16$ .

$f' (4) = 48 - 3$

Étape 3.4.2.2

Soustrayez $3$ de $48$ .

$f' (4) = 45$

Étape 3.4.2.3

La réponse finale est $45$ .

$45$

Étape 3.5

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = - 1$ , $x = - 1$ est un maximum local.

$x = - 1$ est un maximum local

Étape 3.6

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 1$ , $x = 1$ est un minimum local.

$x = 1$ est un minimum local

Étape 3.7

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ .

$x = - 1$ est un maximum local

$x = 1$ est un minimum local

$x = - 1$ est un maximum local

$x = 1$ est un minimum local

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Aucun maximum absolu

Minimum absolu : $(1, - 1)$

Étape 5