Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 5 - \sqrt{x - 5}$ ; $5 \leq x \leq 9$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 - \sqrt{x - 5}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 5}]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 5}]$

Étape 1.1.1.1.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 5}]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 5}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x - 5}$ comme ${(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.1.1.2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x - 5$ .

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Étape 1.1.1.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 5$ .

$0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 1.1.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 1.1.1.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 5$ .

$0 - (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 1.1.1.2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$0 - (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Étape 1.1.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Étape 1.1.1.2.6

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 - (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0))$

Étape 1.1.1.2.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0))$

Étape 1.1.1.2.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))$

Étape 1.1.1.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$0 - (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))$

Étape 1.1.1.2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.2.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$0 - (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0))$

Étape 1.1.1.2.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$0 - (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0))$

Étape 1.1.1.2.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 - (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0))$

Étape 1.1.1.2.12

Additionnez $1$ et $0$ .

$0 - (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1)$

Étape 1.1.1.2.13

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 - (\frac{{(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)$

Étape 1.1.1.2.14

Multipliez $\frac{{(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ par $1$ .

$0 - \frac{{(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 1.1.1.2.15

Placez ${(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.1.3

Soustrayez $\frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 = 0$

Étape 1.2.3

Comme $1 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 1.3.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$- \frac{1}{2 \sqrt{{(x - 5)}^{1}}}$

Étape 1.3.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$- \frac{1}{2 \sqrt{x - 5}}$

Étape 1.3.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{2 \sqrt{x - 5}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 \sqrt{x - 5} = 0$

Étape 1.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 1.3.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(2 \sqrt{x - 5})}^{2} = 0^{2}$

Étape 1.3.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 1.3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x - 5}$ comme ${(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 1.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.3.2.2.1

Simplifiez ${(2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.3.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 1.3.3.2.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 {({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 1.3.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.3.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 1.3.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 {(x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 1.3.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 {(x - 5)}^{1} = 0^{2}$

Étape 1.3.3.2.2.1.4

Simplifiez

$4 (x - 5) = 0^{2}$

Étape 1.3.3.2.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$4 x + 4 \cdot - 5 = 0^{2}$

Étape 1.3.3.2.2.1.6

Multipliez $4$ par $- 5$ .

$4 x - 20 = 0^{2}$

Étape 1.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$4 x - 20 = 0$

Étape 1.3.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 1.3.3.3.1

Ajoutez $20$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x = 20$

Étape 1.3.3.3.2

Divisez chaque terme dans $4 x = 20$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 1.3.3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 20$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{20}{4}$

Étape 1.3.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.3.3.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{20}{4}$

Étape 1.3.3.3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{20}{4}$

Étape 1.3.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.3.3.2.3.1

Divisez $20$ par $4$ .

$x = 5$

Étape 1.3.4

Définissez le radicande dans $\sqrt{x - 5}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 5 < 0$

Étape 1.3.5

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x < 5$

Étape 1.3.6

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq 5$

$(- \infty, 5]$

$x \leq 5$

$(- \infty, 5]$

Étape 1.4

Évaluez $5 - \sqrt{x - 5}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 5$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $5$ .

$5 - \sqrt{(5) - 5}$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

Soustrayez $5$ de $5$ .

$5 - \sqrt{0}$

Étape 1.4.1.2.1.2

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$5 - \sqrt{0^{2}}$

Étape 1.4.1.2.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$5 - 0$

Étape 1.4.1.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$5 + 0$

Étape 1.4.1.2.2

Additionnez $5$ et $0$ .

$5$

Étape 1.4.2

Indiquez tous les points.

$(5, 5)$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = 5$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $5$ .

$5 - \sqrt{(5) - 5}$

Étape 2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Soustrayez $5$ de $5$ .

$5 - \sqrt{0}$

Étape 2.1.2.1.2

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$5 - \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.1.2.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$5 - 0$

Étape 2.1.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$5 + 0$

Étape 2.1.2.2

Additionnez $5$ et $0$ .

$5$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 9$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $9$ .

$5 - \sqrt{(9) - 5}$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Soustrayez $5$ de $9$ .

$5 - \sqrt{4}$

Étape 2.2.2.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$5 - \sqrt{2^{2}}$

Étape 2.2.2.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$5 - 1 \cdot 2$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$5 - 2$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $2$ de $5$ .

$3$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(5, 5), (9, 3)$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(5, 5)$

Minimum absolu : $(9, 3)$

Étape 4