Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sin (x)$

Étape 1

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Étape 2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\cos (x) = 0$

Étape 4

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 6

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 7

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 7.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 7.2

Associez les fractions.

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Étape 7.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 7.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 7.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 7.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 8

La solution de l’équation est $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{π}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \sin (\frac{π}{2})$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 10.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 11

$x = \frac{π}{2}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{π}{2}$ est un maximum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{π}{2}$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2})$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1$

Étape 12.2.2

La réponse finale est $1$ .

$y = 1$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{3 π}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$- - \sin (\frac{π}{2})$

Étape 14.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- (- 1 \cdot 1)$

Étape 14.3

Multipliez $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 14.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- - 1$

Étape 14.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1$

Étape 15

$x = \frac{3 π}{2}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{3 π}{2}$ est un minimum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{3 π}{2}$ .

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Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{3 π}{2}) = \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 16.2.1

$f (\frac{3 π}{2}) = - \sin (\frac{π}{2})$

Étape 16.2.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 1 \cdot 1$

Étape 16.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 1$

Étape 16.2.4

La réponse finale est $- 1$ .

$y = - 1$

Étape 17

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \sin (x)$ .

$(\frac{π}{2}, 1)$ est un maximum local

$(\frac{3 π}{2}, - 1)$ est un minimum local

Étape 18