Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{3} + 21 x^{2} + 36 x$ , $[- 8, 0]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} + 21 x^{2} + 36 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [21 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $21$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $21 x^{2}$ par rapport à $x$ est $21 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} + 21 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 x^{2} + 21 (2 x) + \frac{d}{d x} [36 x]$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $21$ .

$6 x^{2} + 42 x + \frac{d}{d x} [36 x]$

Étape 1.1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [36 x]$ .

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Étape 1.1.1.4.1

Comme $36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $36 x$ par rapport à $x$ est $36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} + 42 x + 36 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x^{2} + 42 x + 36 \cdot 1$

Étape 1.1.1.4.3

Multipliez $36$ par $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 42 x + 36$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 x^{2} + 42 x + 36$ .

$6 x^{2} + 42 x + 36$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 x^{2} + 42 x + 36 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$6 x^{2} + 42 x + 36 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2} + 42 x + 36$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) + 42 x + 36 = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Factorisez $6$ à partir de $42 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (7 x) + 36 = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Factorisez $6$ à partir de $36$ .

$6 x^{2} + 6 (7 x) + 6 \cdot 6 = 0$

Étape 1.2.2.1.4

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2} + 6 (7 x)$ .

$6 (x^{2} + 7 x) + 6 \cdot 6 = 0$

Étape 1.2.2.1.5

Factorisez $6$ à partir de $6 (x^{2} + 7 x) + 6 \cdot 6$ .

$6 (x^{2} + 7 x + 6) = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez.

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Étape 1.2.2.2.1

Factorisez $x^{2} + 7 x + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $7$ .

$1, 6$

Étape 1.2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$6 ((x + 1) (x + 6)) = 0$

Étape 1.2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$6 (x + 1) (x + 6) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 6 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 1.2.4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 1.2.5

Définissez $x + 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x + 6$ égal à $0$ .

$x + 6 = 0$

Étape 1.2.5.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 6$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $6 (x + 1) (x + 6) = 0$ vraie.

$x = - 1, - 6$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $2 x^{3} + 21 x^{2} + 36 x$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = - 1$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

$2 {(- 1)}^{3} + 21 {(- 1)}^{2} + 36 (- 1)$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot - 1 + 21 {(- 1)}^{2} + 36 (- 1)$

Étape 1.4.1.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 + 21 {(- 1)}^{2} + 36 (- 1)$

Étape 1.4.1.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 2 + 21 \cdot 1 + 36 (- 1)$

Étape 1.4.1.2.1.4

Multipliez $21$ par $1$ .

$- 2 + 21 + 36 (- 1)$

Étape 1.4.1.2.1.5

Multipliez $36$ par $- 1$ .

$- 2 + 21 - 36$

Étape 1.4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.4.1.2.2.1

Additionnez $- 2$ et $21$ .

$19 - 36$

Étape 1.4.1.2.2.2

Soustrayez $36$ de $19$ .

$- 17$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = - 6$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $- 6$ .

$2 {(- 6)}^{3} + 21 {(- 6)}^{2} + 36 (- 6)$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot - 216 + 21 {(- 6)}^{2} + 36 (- 6)$

Étape 1.4.2.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 216$ .

$- 432 + 21 {(- 6)}^{2} + 36 (- 6)$

Étape 1.4.2.2.1.3

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$- 432 + 21 \cdot 36 + 36 (- 6)$

Étape 1.4.2.2.1.4

Multipliez $21$ par $36$ .

$- 432 + 756 + 36 (- 6)$

Étape 1.4.2.2.1.5

Multipliez $36$ par $- 6$ .

$- 432 + 756 - 216$

Étape 1.4.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.4.2.2.2.1

Additionnez $- 432$ et $756$ .

$324 - 216$

Étape 1.4.2.2.2.2

Soustrayez $216$ de $324$ .

$108$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(- 1, - 17), (- 6, 108)$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = - 8$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $- 8$ .

$2 {(- 8)}^{3} + 21 {(- 8)}^{2} + 36 (- 8)$

Étape 2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot - 512 + 21 {(- 8)}^{2} + 36 (- 8)$

Étape 2.1.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 512$ .

$- 1024 + 21 {(- 8)}^{2} + 36 (- 8)$

Étape 2.1.2.1.3

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$- 1024 + 21 \cdot 64 + 36 (- 8)$

Étape 2.1.2.1.4

Multipliez $21$ par $64$ .

$- 1024 + 1344 + 36 (- 8)$

Étape 2.1.2.1.5

Multipliez $36$ par $- 8$ .

$- 1024 + 1344 - 288$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.1.2.2.1

Additionnez $- 1024$ et $1344$ .

$320 - 288$

Étape 2.1.2.2.2

Soustrayez $288$ de $320$ .

$32$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$2 {(0)}^{3} + 21 {(0)}^{2} + 36 (0)$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$2 \cdot 0 + 21 {(0)}^{2} + 36 (0)$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$0 + 21 {(0)}^{2} + 36 (0)$

Étape 2.2.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 21 \cdot 0 + 36 (0)$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $21$ par $0$ .

$0 + 0 + 36 (0)$

Étape 2.2.2.1.5

Multipliez $36$ par $0$ .

$0 + 0 + 0$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 2.2.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 0$

Étape 2.2.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(- 8, 32), (0, 0)$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(- 6, 108)$

Minimum absolu : $(- 1, - 17)$

Étape 4