Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 x^{3} - 3 x - 4$ ; between $1$ and $6$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} - 3 x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 x^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$12 x^{2} - 3 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.1.4.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 x^{2} - 3 + 0$

Étape 1.1.1.4.2

Additionnez $12 x^{2} - 3$ et $0$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 3$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{2} - 3$ .

$12 x^{2} - 3$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{2} - 3 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$12 x^{2} - 3 = 0$

Étape 1.2.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$12 x^{2} = 3$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $12 x^{2} = 3$ par $12$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $12 x^{2} = 3$ par $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{3}{12}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{3}{12}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{12}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Annulez le facteur commun à $3$ et $12$ .

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Étape 1.2.3.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$x^{2} = \frac{3 (1)}{12}$

Étape 1.2.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.3.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$x^{2} = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4}$

Étape 1.2.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4}$

Étape 1.2.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Étape 1.2.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Étape 1.2.5

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Étape 1.2.5.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Étape 1.2.5.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Étape 1.2.5.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.5.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 1.2.5.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Étape 1.2.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{1}{2}$

Étape 1.2.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 1.2.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $4 x^{3} - 3 x - 4$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{1}{2}$ .

$4 {(\frac{1}{2})}^{3} - 3 (\frac{1}{2}) - 4$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$4 \frac{1^{3}}{2^{3}} - 3 (\frac{1}{2}) - 4$

Étape 1.4.1.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 \frac{1}{2^{3}} - 3 (\frac{1}{2}) - 4$

Étape 1.4.1.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$4 (\frac{1}{8}) - 3 (\frac{1}{2}) - 4$

Étape 1.4.1.2.1.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.4.1.2.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$4 \frac{1}{4 (2)} - 3 (\frac{1}{2}) - 4$

Étape 1.4.1.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{1}{4 \cdot 2} - 3 (\frac{1}{2}) - 4$

Étape 1.4.1.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} - 3 (\frac{1}{2}) - 4$

Étape 1.4.1.2.1.5

Associez $- 3$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 3}{2} - 4$

Étape 1.4.1.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} - \frac{3}{2} - 4$

Étape 1.4.1.2.2

Associez les fractions.

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Étape 1.4.1.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 4 + \frac{1 - 3}{2}$

Étape 1.4.1.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.1.2.2.2.1

Soustrayez $3$ de $1$ .

$- 4 + \frac{- 2}{2}$

Étape 1.4.1.2.2.2.2

Divisez $- 2$ par $2$ .

$- 4 - 1$

Étape 1.4.1.2.2.2.3

Soustrayez $1$ de $- 4$ .

$- 5$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = - \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $- \frac{1}{2}$ .

$4 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 3 (- \frac{1}{2}) - 4$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 1.4.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) - 3 (- \frac{1}{2}) - 4$

Étape 1.4.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$4 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 3 (- \frac{1}{2}) - 4$

Étape 1.4.2.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$4 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 3 (- \frac{1}{2}) - 4$

Étape 1.4.2.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 (- \frac{1}{2^{3}}) - 3 (- \frac{1}{2}) - 4$

Étape 1.4.2.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$4 (- \frac{1}{8}) - 3 (- \frac{1}{2}) - 4$

Étape 1.4.2.2.1.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.4.2.2.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{8}$ dans le numérateur.

$4 (\frac{- 1}{8}) - 3 (- \frac{1}{2}) - 4$

Étape 1.4.2.2.1.5.2

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$4 \frac{- 1}{4 (2)} - 3 (- \frac{1}{2}) - 4$

Étape 1.4.2.2.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{- 1}{4 \cdot 2} - 3 (- \frac{1}{2}) - 4$

Étape 1.4.2.2.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{2} - 3 (- \frac{1}{2}) - 4$

Étape 1.4.2.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2} - 3 (- \frac{1}{2}) - 4$

Étape 1.4.2.2.1.7

Multipliez $- 3 (- \frac{1}{2})$ .

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Étape 1.4.2.2.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$- \frac{1}{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 4$

Étape 1.4.2.2.1.7.2

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} - 4$

Étape 1.4.2.2.2

Associez les fractions.

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Étape 1.4.2.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 4 + \frac{- 1 + 3}{2}$

Étape 1.4.2.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.2.2.2.2.1

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$- 4 + \frac{2}{2}$

Étape 1.4.2.2.2.2.2

Divisez $2$ par $2$ .

$- 4 + 1$

Étape 1.4.2.2.2.2.3

Additionnez $- 4$ et $1$ .

$- 3$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(\frac{1}{2}, - 5), (- \frac{1}{2}, - 3)$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

Étape 3

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 3.1

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$4 {(1)}^{3} - 3 \cdot 1 - 4$

Étape 3.1.2

Simplifiez

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 \cdot 1 - 3 \cdot 1 - 4$

Étape 3.1.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 - 3 \cdot 1 - 4$

Étape 3.1.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$4 - 3 - 4$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 3.1.2.2.1

Soustrayez $3$ de $4$ .

$1 - 4$

Étape 3.1.2.2.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$- 3$

Étape 3.2

Évaluez sur $x = 6$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez $x$ par $6$ .

$4 {(6)}^{3} - 3 \cdot 6 - 4$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$4 \cdot 216 - 3 \cdot 6 - 4$

Étape 3.2.2.1.2

Multipliez $4$ par $216$ .

$864 - 3 \cdot 6 - 4$

Étape 3.2.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $6$ .

$864 - 18 - 4$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 3.2.2.2.1

Soustrayez $18$ de $864$ .

$846 - 4$

Étape 3.2.2.2.2

Soustrayez $4$ de $846$ .

$842$

Étape 3.3

Indiquez tous les points.

$(1, - 3), (6, 842)$

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(6, 842)$

Minimum absolu : $(1, - 3)$

Étape 5