Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{9 - x^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{9 - x^{2}}$ comme ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 9 - x^{2}$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $9 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $9 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Étape 1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Étape 1.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Étape 1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Étape 1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Étape 1.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Étape 1.7

Associez les fractions.

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Étape 1.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Étape 1.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Étape 1.7.3

Placez ${(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Étape 1.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 1.9

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 1.10

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

Étape 1.13

Simplifiez les termes.

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Étape 1.13.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

Étape 1.13.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Étape 1.13.3

Associez $\frac{- 2}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.13.4

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.14

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.14.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x)}{2 ({(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 1.14.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- x)}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.14.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{({(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${({(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 2.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.4

Simplifiez

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.5.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.5.2

Multipliez ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 9 - x^{2}$ .

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Étape 2.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $9 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $9 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.11

Associez les fractions.

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Étape 2.11.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.11.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.11.3

Placez ${(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.11.4

Associez $\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (9 - x^{2})}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (9) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.13

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.14

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2})}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.15

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2})}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.16

Multipliez.

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Étape 2.16.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1 (\frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.16.2

Multipliez $\frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.17

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.18

Associez les fractions.

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Étape 2.18.1

Associez $2$ et $\frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.18.2

Associez $\frac{2 x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x \cdot x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.19

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (x \cdot x)}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.20

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (x \cdot x)}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.21

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.22

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{2}}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.23

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{2}}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.24

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.25

Pour écrire ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.26

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{\frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.27

Multipliez ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.27.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{\frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.27.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{\frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.27.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{2}{2}} + x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.27.4

Divisez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{(9 - x^{2}) + x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.28

Simplifiez ${(9 - x^{2})}^{1}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{9 - x^{2} + x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.29

Additionnez $- x^{2}$ et $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{9 + 0}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.30

Additionnez $9$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.31

Réécrivez $\frac{\frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}}$ comme un produit.

$f'' (x) = - (\frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{9 - x^{2}}) + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.32

Multipliez $\frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{9 - x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (9 - x^{2})} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.33

Multipliez ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $9 - x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.33.1

Multipliez ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $9 - x^{2}$ .

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Étape 2.33.1.1

Élevez $9 - x^{2}$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (9 - x^{2})} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.33.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.33.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.33.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.33.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.34

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 2.35

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.35.1

Multipliez $\frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ par $0$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + 0$

Étape 2.35.2

Additionnez $- \frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{9 - x^{2}}$ comme ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 9 - x^{2}$ .

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Étape 4.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $9 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Étape 4.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $9 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Étape 4.1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Étape 4.1.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Étape 4.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Étape 4.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Étape 4.1.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Étape 4.1.7

Associez les fractions.

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Étape 4.1.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Étape 4.1.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Étape 4.1.7.3

Placez ${(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Étape 4.1.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 4.1.9

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 4.1.10

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 4.1.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.1.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

Étape 4.1.13

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1.13.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

Étape 4.1.13.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Étape 4.1.13.3

Associez $\frac{- 2}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.13.4

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.14

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.14.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x)}{2 ({(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 4.1.14.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- x)}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.14.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x = 0$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 6.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$- \frac{x}{\sqrt{{(9 - x^{2})}^{1}}}$

Étape 6.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$- \frac{x}{\sqrt{9 - x^{2}}}$

Étape 6.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{x}{\sqrt{9 - x^{2}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{9 - x^{2}} = 0$

Étape 6.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{9 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{9 - x^{2}}$ comme ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.2.1

Simplifiez ${({(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(9 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.2

Simplifiez

$9 - x^{2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$9 - x^{2} = 0$

Étape 6.3.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} = - 9$

Étape 6.3.3.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 9$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 9$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Étape 6.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Étape 6.3.3.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 9}{- 1}$

Étape 6.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.3.1

Divisez $- 9$ par $- 1$ .

$x^{2} = 9$

Étape 6.3.3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{9}$

Étape 6.3.3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{9}$ .

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Étape 6.3.3.4.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Étape 6.3.3.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 3$

Étape 6.3.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3$

Étape 6.3.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3$

Étape 6.3.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3, - 3$

Étape 6.4

Définissez le radicande dans $\sqrt{9 - x^{2}}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$9 - x^{2} < 0$

Étape 6.5

Résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x^{2} < - 9$

Étape 6.5.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} < - 9$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} < - 9$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 9}{- 1}$

Étape 6.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 9}{- 1}$

Étape 6.5.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} > \frac{- 9}{- 1}$

Étape 6.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.3.1

Divisez $- 9$ par $- 1$ .

$x^{2} > 9$

Étape 6.5.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{9}$

Étape 6.5.4

Simplifiez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.4.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.4.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | > \sqrt{9}$

Étape 6.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.4.2.1

Simplifiez $\sqrt{9}$ .

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Étape 6.5.4.2.1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$| x | > \sqrt{3^{2}}$

Étape 6.5.4.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | > | 3 |$

Étape 6.5.4.2.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $3$ est $3$ .

$| x | > 3$

Étape 6.5.5

Écrivez $| x | > 3$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 6.5.5.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 6.5.5.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x > 3$

Étape 6.5.5.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 6.5.5.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x > 3$

Étape 6.5.5.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x > 3 & x \geq 0 \\ - x > 3 & x < 0 \end{cases}$

Étape 6.5.6

Déterminez l’intersection de $x > 3$ et $x \geq 0$ .

$x > 3$

Étape 6.5.7

Divisez chaque terme dans $- x > 3$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.5.7.1

Divisez chaque terme dans $- x > 3$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{3}{- 1}$

Étape 6.5.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.5.7.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} < \frac{3}{- 1}$

Étape 6.5.7.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{3}{- 1}$

Étape 6.5.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.5.7.3.1

Divisez $3$ par $- 1$ .

$x < - 3$

Étape 6.5.8

Déterminez l’union des solutions.

$x < - 3$ ou $x > 3$

Étape 6.6

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq - 3, x \geq 3$

$(- \infty, - 3] \cup [3, \infty)$

$x \leq - 3, x \geq 3$

$(- \infty, - 3] \cup [3, \infty)$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, - 3, 3$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{9}{{(9 - {(0)}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{9}{{(9 - 0)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- \frac{9}{{(9 + 0)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.2

Additionnez $9$ et $0$ .

$- \frac{9}{9^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$- \frac{9}{{(3^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{9}{3^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 9.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{9}{3^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 9.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{9}{3^{3}}$

Étape 9.1.6

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$- \frac{9}{27}$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun à $9$ et $27$ .

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Étape 9.2.1

Factorisez $9$ à partir de $9$ .

$- \frac{9 (1)}{27}$

Étape 9.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$- \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 3}$

Étape 9.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 3}$

Étape 9.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{3}$

Étape 10

$x = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \sqrt{9 - {(0)}^{2}}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = \sqrt{9 - 0}$

Étape 11.2.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = \sqrt{9 + 0}$

Étape 11.2.3

Additionnez $9$ et $0$ .

$f (0) = \sqrt{9}$

Étape 11.2.4

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$f (0) = \sqrt{3^{2}}$

Étape 11.2.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (0) = 3$

Étape 11.2.6

La réponse finale est $3$ .

$y = 3$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 3$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{9}{{(9 - {(- 3)}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$- \frac{9}{{(9 - 1 \cdot 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.1.2

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$- \frac{9}{{(9 - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 13.2.1

Soustrayez $9$ de $9$ .

$- \frac{9}{0^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 13.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$- \frac{9}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{9}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 13.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{9}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 13.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{9}{0^{3}}$

Étape 13.2.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{9}{0}$

Étape 13.2.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$- \frac{9}{0}$

Étape 13.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 14

Comme le test de la dérivée première a échoué, il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 15