Calcul infinitésimal Exemples

$y = 3^{x}$ , $[0, 4]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $3$ .

$f' (x) = 3^{x} \ln (3)$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3^{x} \ln (3)$ .

$3^{x} \ln (3)$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3^{x} \ln (3) = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3^{x} \ln (3) = 0$

Étape 1.2.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

Aucune solution

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Aucun point critique n’a été trouvé

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$3^{0}$

Étape 2.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 4$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $4$ .

$3^{4}$

Étape 2.2.2

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$81$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(0, 1), (4, 81)$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(4, 81)$

Minimum absolu : $(0, 1)$

Étape 4