Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x {(x - 10)}^{2}$ ; $[0, 10]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Réécrivez ${(x - 10)}^{2}$ comme $(x - 10) (x - 10)$ .

$\frac{d}{d x} [x ((x - 10) (x - 10))]$

Étape 1.1.1.2

Développez $(x - 10) (x - 10)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x (x (x - 10) - 10 (x - 10))]$

Étape 1.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x (x \cdot x + x \cdot - 10 - 10 (x - 10))]$

Étape 1.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x (x \cdot x + x \cdot - 10 - 10 x - 10 \cdot - 10)]$

Étape 1.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x \cdot - 10 - 10 x - 10 \cdot - 10)]$

Étape 1.1.1.3.1.2

Déplacez $- 10$ à gauche de $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 10 \cdot x - 10 x - 10 \cdot - 10)]$

Étape 1.1.1.3.1.3

Multipliez $- 10$ par $- 10$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 10 x - 10 x + 100)]$

Étape 1.1.1.3.2

Soustrayez $10 x$ de $- 10 x$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 20 x + 100)]$

Étape 1.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x^{2} - 20 x + 100$ .

$x \frac{d}{d x} [x^{2} - 20 x + 100] + (x^{2} - 20 x + 100) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.5

Différenciez.

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Étape 1.1.1.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 20 x + 100$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [100]$ .

$x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [100]) + (x^{2} - 20 x + 100) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x (2 x + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [100]) + (x^{2} - 20 x + 100) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.5.3

Comme $- 20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 20 x$ par rapport à $x$ est $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (2 x - 20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [100]) + (x^{2} - 20 x + 100) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (2 x - 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [100]) + (x^{2} - 20 x + 100) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.5.5

Multipliez $- 20$ par $1$ .

$x (2 x - 20 + \frac{d}{d x} [100]) + (x^{2} - 20 x + 100) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.5.6

Comme $100$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $100$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x (2 x - 20 + 0) + (x^{2} - 20 x + 100) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.5.7

Additionnez $2 x - 20$ et $0$ .

$x (2 x - 20) + (x^{2} - 20 x + 100) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.5.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (2 x - 20) + (x^{2} - 20 x + 100) \cdot 1$

Étape 1.1.1.5.9

Multipliez $x^{2} - 20 x + 100$ par $1$ .

$x (2 x - 20) + x^{2} - 20 x + 100$

Étape 1.1.1.6

Simplifiez

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Étape 1.1.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (2 x) + x \cdot - 20 + x^{2} - 20 x + 100$

Étape 1.1.1.6.2

Associez des termes.

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Étape 1.1.1.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (x^{1} x) + x \cdot - 20 + x^{2} - 20 x + 100$

Étape 1.1.1.6.2.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) + x \cdot - 20 + x^{2} - 20 x + 100$

Étape 1.1.1.6.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{1 + 1} + x \cdot - 20 + x^{2} - 20 x + 100$

Étape 1.1.1.6.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 x^{2} + x \cdot - 20 + x^{2} - 20 x + 100$

Étape 1.1.1.6.2.5

Déplacez $- 20$ à gauche de $x$ .

$2 x^{2} - 20 \cdot x + x^{2} - 20 x + 100$

Étape 1.1.1.6.2.6

Additionnez $2 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$3 x^{2} - 20 x - 20 x + 100$

Étape 1.1.1.6.2.7

Soustrayez $20 x$ de $- 20 x$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 40 x + 100$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 40 x + 100$ .

$3 x^{2} - 40 x + 100$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 40 x + 100 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 40 x + 100 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 100 = 300$ et dont la somme est $b = - 40$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Factorisez $- 40$ à partir de $- 40 x$ .

$3 x^{2} - 40 x + 100 = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Réécrivez $- 40$ comme $- 10$ plus $- 30$

$3 x^{2} + (- 10 - 30) x + 100 = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} - 10 x - 30 x + 100 = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 x^{2} - 10 x) - 30 x + 100 = 0$

Étape 1.2.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (3 x - 10) - 10 (3 x - 10) = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x - 10$ .

$(3 x - 10) (x - 10) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x - 10 = 0$

$x - 10 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $3 x - 10$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $3 x - 10$ égal à $0$ .

$3 x - 10 = 0$

Étape 1.2.4.2

Résolvez $3 x - 10 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.4.2.1

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 10$

Étape 1.2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 10$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 1.2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 10$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{10}{3}$

Étape 1.2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{10}{3}$

Étape 1.2.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{10}{3}$

Étape 1.2.5

Définissez $x - 10$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x - 10$ égal à $0$ .

$x - 10 = 0$

Étape 1.2.5.2

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 10$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x - 10) (x - 10) = 0$ vraie.

$x = \frac{10}{3}, 10$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $x {(x - 10)}^{2}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = \frac{10}{3}$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{10}{3}$ .

$(\frac{10}{3}) {((\frac{10}{3}) - 10)}^{2}$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Pour écrire $- 10$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{3} {(\frac{10}{3} - 10 \cdot \frac{3}{3})}^{2}$

Étape 1.4.1.2.2

Associez $- 10$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{3} {(\frac{10}{3} + \frac{- 10 \cdot 3}{3})}^{2}$

Étape 1.4.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{10}{3} {(\frac{10 - 10 \cdot 3}{3})}^{2}$

Étape 1.4.1.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.1.2.4.1

Multipliez $- 10$ par $3$ .

$\frac{10}{3} {(\frac{10 - 30}{3})}^{2}$

Étape 1.4.1.2.4.2

Soustrayez $30$ de $10$ .

$\frac{10}{3} {(\frac{- 20}{3})}^{2}$

Étape 1.4.1.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{10}{3} {(- \frac{20}{3})}^{2}$

Étape 1.4.1.2.6

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 1.4.1.2.6.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{20}{3}$ .

$\frac{10}{3} ({(- 1)}^{2} {(\frac{20}{3})}^{2})$

Étape 1.4.1.2.6.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{20}{3}$ .

$\frac{10}{3} ({(- 1)}^{2} \frac{20^{2}}{3^{2}})$

Étape 1.4.1.2.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.1.2.7.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{10}{3} (1 \frac{20^{2}}{3^{2}})$

Étape 1.4.1.2.7.2

Multipliez $\frac{20^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$\frac{10}{3} \cdot \frac{20^{2}}{3^{2}}$

Étape 1.4.1.2.8

Associez.

$\frac{10 \cdot 20^{2}}{3 \cdot 3^{2}}$

Étape 1.4.1.2.9

Multipliez $3$ par $3^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.1.2.9.1

Multipliez $3$ par $3^{2}$ .

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Étape 1.4.1.2.9.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$\frac{10 \cdot 20^{2}}{3^{1} \cdot 3^{2}}$

Étape 1.4.1.2.9.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{10 \cdot 20^{2}}{3^{1 + 2}}$

Étape 1.4.1.2.9.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{10 \cdot 20^{2}}{3^{3}}$

Étape 1.4.1.2.10

Élevez $20$ à la puissance $2$ .

$\frac{10 \cdot 400}{3^{3}}$

Étape 1.4.1.2.11

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{10 \cdot 400}{27}$

Étape 1.4.1.2.12

Multipliez $10$ par $400$ .

$\frac{4000}{27}$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = 10$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $10$ .

$(10) {((10) - 10)}^{2}$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Soustrayez $10$ de $10$ .

$10 \cdot 0^{2}$

Étape 1.4.2.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$10 \cdot 0$

Étape 1.4.2.2.3

Multipliez $10$ par $0$ .

$0$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(\frac{10}{3}, \frac{4000}{27}), (10, 0)$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$(0) {((0) - 10)}^{2}$

Étape 2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1

Soustrayez $10$ de $0$ .

$0 {(- 10)}^{2}$

Étape 2.1.2.2

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$0 \cdot 100$

Étape 2.1.2.3

Multipliez $0$ par $100$ .

$0$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 10$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $10$ .

$(10) {((10) - 10)}^{2}$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Soustrayez $10$ de $10$ .

$10 \cdot 0^{2}$

Étape 2.2.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$10 \cdot 0$

Étape 2.2.2.3

Multipliez $10$ par $0$ .

$0$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(0, 0), (10, 0)$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(\frac{10}{3}, \frac{4000}{27})$

Minimum absolu : $(0, 0), (10, 0)$

Étape 4