Calcul infinitésimal Exemples

$f (t) = \frac{t^{2}}{t - 8}$ ; $- 2 \leq t \leq - \frac{1}{4}$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = t^{2}$ et $g (t) = t - 8$ .

$\frac{(t - 8) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(t - 8) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $t - 8$ .

$\frac{2 \cdot (t - 8) t - t^{2} \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t - 8$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 8]$ .

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 8])}{{(t - 8)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2} (1 + \frac{d}{d t} [- 8])}{{(t - 8)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.5

Comme $- 8$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2} (1 + 0)}{{(t - 8)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.2.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2} \cdot 1}{{(t - 8)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 t + 2 \cdot - 8) t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 t \cdot t + 2 \cdot - 8 t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.3.3.1.1

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.1.3.3.1.1.1

Déplacez $t$ .

$\frac{2 (t \cdot t) + 2 \cdot - 8 t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3.1.1.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$\frac{2 t^{2} + 2 \cdot - 8 t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3.1.2

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$\frac{2 t^{2} - 16 t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3.2

Soustrayez $t^{2}$ de $2 t^{2}$ .

$\frac{t^{2} - 16 t}{{(t - 8)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.4

Factorisez $t$ à partir de $t^{2} - 16 t$ .

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Étape 1.1.1.3.4.1

Factorisez $t$ à partir de $t^{2}$ .

$\frac{t \cdot t - 16 t}{{(t - 8)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.4.2

Factorisez $t$ à partir de $- 16 t$ .

$\frac{t \cdot t + t \cdot - 16}{{(t - 8)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.4.3

Factorisez $t$ à partir de $t \cdot t + t \cdot - 16$ .

$f' (t) = \frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}}$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (t)$ par rapport à $t$ est $\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}}$ .

$\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$t (t - 16) = 0$

Étape 1.2.3

Résolvez l’équation pour $t$ .

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Étape 1.2.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$t = 0$

$t - 16 = 0$

Étape 1.2.3.2

Définissez $t$ égal à $0$ .

$t = 0$

Étape 1.2.3.3

Définissez $t - 16$ égal à $0$ et résolvez $t$ .

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Étape 1.2.3.3.1

Définissez $t - 16$ égal à $0$ .

$t - 16 = 0$

Étape 1.2.3.3.2

Ajoutez $16$ aux deux côtés de l’équation.

$t = 16$

Étape 1.2.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $t (t - 16) = 0$ vraie.

$t = 0, 16$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(t - 8)}^{2} = 0$

Étape 1.3.2

Résolvez $t$ .

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Étape 1.3.2.1

Définissez le $t - 8$ égal à $0$ .

$t - 8 = 0$

Étape 1.3.2.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$t = 8$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{t^{2}}{t - 8}$ sur chaque valeur $t$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $t = 0$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $t$ par $0$ .

$\frac{{(0)}^{2}}{(0) - 8}$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{0 - 8}$

Étape 1.4.1.2.2

Soustrayez $8$ de $0$ .

$\frac{0}{- 8}$

Étape 1.4.1.2.3

Divisez $0$ par $- 8$ .

$0$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $t = 16$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $t$ par $16$ .

$\frac{{(16)}^{2}}{(16) - 8}$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Élevez $16$ à la puissance $2$ .

$\frac{256}{16 - 8}$

Étape 1.4.2.2.2

Soustrayez $8$ de $16$ .

$\frac{256}{8}$

Étape 1.4.2.2.3

Divisez $256$ par $8$ .

$32$

Étape 1.4.3

Évaluez sur $t = 8$ .

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Étape 1.4.3.1

Remplacez $t$ par $8$ .

$\frac{{(8)}^{2}}{(8) - 8}$

Étape 1.4.3.2

Simplifiez

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Étape 1.4.3.2.1

Soustrayez $8$ de $8$ .

$\frac{{(8)}^{2}}{0}$

Étape 1.4.3.2.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 1.4.4

Indiquez tous les points.

$(0, 0), (16, 32)$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

Étape 3

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 3.1

Évaluez sur $t = - 2$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez $t$ par $- 2$ .

$\frac{{(- 2)}^{2}}{(- 2) - 8}$

Étape 3.1.2

Simplifiez

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$\frac{4}{- 2 - 8}$

Étape 3.1.2.1.2

Soustrayez $8$ de $- 2$ .

$\frac{4}{- 10}$

Étape 3.1.2.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $- 10$ .

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Étape 3.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 (2)}{- 10}$

Étape 3.1.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 10$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 5}$

Étape 3.1.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 5}$

Étape 3.1.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{- 5}$

Étape 3.1.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{5}$

Étape 3.2

Évaluez sur $t = - \frac{1}{4}$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez $t$ par $- \frac{1}{4}$ .

$\frac{{(- \frac{1}{4})}^{2}}{(- \frac{1}{4}) - 8}$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{4}$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2}}{- \frac{1}{4} - 8}$

Étape 3.2.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{1 {(\frac{1}{4})}^{2}}{- \frac{1}{4} - 8}$

Étape 3.2.2.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1 \frac{1^{2}}{4^{2}}}{- \frac{1}{4} - 8}$

Étape 3.2.2.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1 \frac{1}{4^{2}}}{- \frac{1}{4} - 8}$

Étape 3.2.2.1.5

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{1 (\frac{1}{16})}{- \frac{1}{4} - 8}$

Étape 3.2.2.1.6

Multipliez $\frac{1}{16}$ par $1$ .

$\frac{\frac{1}{16}}{- \frac{1}{4} - 8}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.2.2.1

Pour écrire $- 8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{16}}{- \frac{1}{4} - 8 \cdot \frac{4}{4}}$

Étape 3.2.2.2.2

Associez $- 8$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{16}}{- \frac{1}{4} + \frac{- 8 \cdot 4}{4}}$

Étape 3.2.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{1}{16}}{\frac{- 1 - 8 \cdot 4}{4}}$

Étape 3.2.2.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.2.2.4.1

Multipliez $- 8$ par $4$ .

$\frac{\frac{1}{16}}{\frac{- 1 - 32}{4}}$

Étape 3.2.2.2.4.2

Soustrayez $32$ de $- 1$ .

$\frac{\frac{1}{16}}{\frac{- 33}{4}}$

Étape 3.2.2.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{1}{16}}{- \frac{33}{4}}$

Étape 3.2.2.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{16} (- \frac{4}{33})$

Étape 3.2.2.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.2.2.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4}{33}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{16} \cdot \frac{- 4}{33}$

Étape 3.2.2.4.2

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$\frac{1}{4 (4)} \cdot \frac{- 4}{33}$

Étape 3.2.2.4.3

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$\frac{1}{4 \cdot 4} \cdot \frac{4 \cdot - 1}{33}$

Étape 3.2.2.4.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4 \cdot 4} \cdot \frac{4 \cdot - 1}{33}$

Étape 3.2.2.4.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 1}{33}$

Étape 3.2.2.5

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{- 1}{33}$ .

$\frac{- 1}{4 \cdot 33}$

Étape 3.2.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.2.6.1

Multipliez $4$ par $33$ .

$\frac{- 1}{132}$

Étape 3.2.2.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{132}$

Étape 3.3

Indiquez tous les points.

$(- 2, - \frac{2}{5}), (- \frac{1}{4}, - \frac{1}{132})$

Étape 4

Comparez les valeurs $f (t)$ trouvées pour chaque valeur de $t$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (t)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (t)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(- \frac{1}{4}, - \frac{1}{132})$

Minimum absolu : $(- 2, - \frac{2}{5})$

Étape 5