Calcul infinitésimal Exemples

$r (t) = t^{4} + 6 t^{2} - 2$ , $[1, 4]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{4} + 6 t^{2} - 2$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [6 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [6 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 2]$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 t^{3} + \frac{d}{d t} [6 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 2]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [6 t^{2}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $6 t^{2}$ par rapport à $t$ est $6 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$4 t^{3} + 6 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 2]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 t^{3} + 6 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 2]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $2$ par $6$ .

$4 t^{3} + 12 t + \frac{d}{d t} [- 2]$

Étape 1.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $t$ est $0$ .

$4 t^{3} + 12 t + 0$

Étape 1.1.1.3.2

Additionnez $4 t^{3} + 12 t$ et $0$ .

$f' (t) = 4 t^{3} + 12 t$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $r (t)$ par rapport à $t$ est $4 t^{3} + 12 t$ .

$4 t^{3} + 12 t$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 t^{3} + 12 t = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 t^{3} + 12 t = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $4 t$ à partir de $4 t^{3} + 12 t$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $4 t$ à partir de $4 t^{3}$ .

$4 t (t^{2}) + 12 t = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $4 t$ à partir de $12 t$ .

$4 t (t^{2}) + 4 t (3) = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $4 t$ à partir de $4 t (t^{2}) + 4 t (3)$ .

$4 t (t^{2} + 3) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$t = 0$

$t^{2} + 3 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $t$ égal à $0$ .

$t = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $t^{2} + 3$ égal à $0$ et résolvez $t$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $t^{2} + 3$ égal à $0$ .

$t^{2} + 3 = 0$

Étape 1.2.5.2

Résolvez $t^{2} + 3 = 0$ pour $t$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$t^{2} = - 3$

Étape 1.2.5.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$t = \pm \sqrt{- 3}$

Étape 1.2.5.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Étape 1.2.5.2.3.1

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$t = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Étape 1.2.5.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$t = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Étape 1.2.5.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$t = \pm i \sqrt{3}$

Étape 1.2.5.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.5.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$t = i \sqrt{3}$

Étape 1.2.5.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$t = - i \sqrt{3}$

Étape 1.2.5.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$t = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 t (t^{2} + 3) = 0$ vraie.

$t = 0, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $t^{4} + 6 t^{2} - 2$ sur chaque valeur $t$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $t = 0$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $t$ par $0$ .

${(0)}^{4} + 6 {(0)}^{2} - 2$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 6 {(0)}^{2} - 2$

Étape 1.4.1.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 6 \cdot 0 - 2$

Étape 1.4.1.2.1.3

Multipliez $6$ par $0$ .

$0 + 0 - 2$

Étape 1.4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.4.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 - 2$

Étape 1.4.1.2.2.2

Soustrayez $2$ de $0$ .

$- 2$

Étape 1.4.2

Indiquez tous les points.

$(0, - 2)$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

Étape 3

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 3.1

Évaluez sur $t = 1$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez $t$ par $1$ .

${(1)}^{4} + 6 {(1)}^{2} - 2$

Étape 3.1.2

Simplifiez

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 6 {(1)}^{2} - 2$

Étape 3.1.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 6 \cdot 1 - 2$

Étape 3.1.2.1.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$1 + 6 - 2$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.1.2.2.1

Additionnez $1$ et $6$ .

$7 - 2$

Étape 3.1.2.2.2

Soustrayez $2$ de $7$ .

$5$

Étape 3.2

Évaluez sur $t = 4$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez $t$ par $4$ .

${(4)}^{4} + 6 {(4)}^{2} - 2$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$256 + 6 {(4)}^{2} - 2$

Étape 3.2.2.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$256 + 6 \cdot 16 - 2$

Étape 3.2.2.1.3

Multipliez $6$ par $16$ .

$256 + 96 - 2$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.2.2.2.1

Additionnez $256$ et $96$ .

$352 - 2$

Étape 3.2.2.2.2

Soustrayez $2$ de $352$ .

$350$

Étape 3.3

Indiquez tous les points.

$(1, 5), (4, 350)$

Étape 4

Comparez les valeurs $r (t)$ trouvées pour chaque valeur de $t$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $r (t)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $r (t)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(4, 350)$

Minimum absolu : $(1, 5)$

Étape 5