Calcul infinitésimal Exemples

$6 x^{4} - 32 x^{3} + 48 x^{2} - 7$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x^{4} - 32 x^{3} + 48 x^{2} - 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{4}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 1.2.3

Multipliez $4$ par $6$ .

$24 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 32$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 32 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 32 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 x^{3} - 32 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$24 x^{3} - 32 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 1.3.3

Multipliez $3$ par $- 32$ .

$24 x^{3} - 96 x^{2} + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $48 x^{2}$ par rapport à $x$ est $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$24 x^{3} - 96 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$24 x^{3} - 96 x^{2} + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 1.4.3

Multipliez $2$ par $48$ .

$24 x^{3} - 96 x^{2} + 96 x + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.5.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$24 x^{3} - 96 x^{2} + 96 x + 0$

Étape 1.5.2

Additionnez $24 x^{3} - 96 x^{2} + 96 x$ et $0$ .

$24 x^{3} - 96 x^{2} + 96 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $24 x^{3} - 96 x^{2} + 96 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 96 x^{2}] + \frac{d}{d x} [96 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (24 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 96 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24 x^{3}$ par rapport à $x$ est $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 24 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 96 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x)$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $24$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 96 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 96 x^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 96$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 96 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 96 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 96 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (96 x)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 96 (2 x) + \frac{d}{d x} (96 x)$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $- 96$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 192 x + \frac{d}{d x} (96 x)$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [96 x]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $96$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $96 x$ par rapport à $x$ est $96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 192 x + 96 \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 192 x + 96 \cdot 1$

Étape 2.4.3

Multipliez $96$ par $1$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 192 x + 96$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$24 x^{3} - 96 x^{2} + 96 x = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{4}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $4$ par $6$ .

$24 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 32$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 32 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 32 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 x^{3} - 32 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$24 x^{3} - 32 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 32$ .

$24 x^{3} - 96 x^{2} + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 4.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.4.1

Comme $48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $48 x^{2}$ par rapport à $x$ est $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$24 x^{3} - 96 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 4.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$24 x^{3} - 96 x^{2} + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 4.1.4.3

Multipliez $2$ par $48$ .

$24 x^{3} - 96 x^{2} + 96 x + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 4.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.5.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$24 x^{3} - 96 x^{2} + 96 x + 0$

Étape 4.1.5.2

Additionnez $24 x^{3} - 96 x^{2} + 96 x$ et $0$ .

$f' (x) = 24 x^{3} - 96 x^{2} + 96 x$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $24 x^{3} - 96 x^{2} + 96 x$ .

$24 x^{3} - 96 x^{2} + 96 x$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $24 x^{3} - 96 x^{2} + 96 x = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$24 x^{3} - 96 x^{2} + 96 x = 0$

Étape 5.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Factorisez $24 x$ à partir de $24 x^{3} - 96 x^{2} + 96 x$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $24 x$ à partir de $24 x^{3}$ .

$24 x (x^{2}) - 96 x^{2} + 96 x = 0$

Étape 5.2.1.2

Factorisez $24 x$ à partir de $- 96 x^{2}$ .

$24 x (x^{2}) + 24 x (- 4 x) + 96 x = 0$

Étape 5.2.1.3

Factorisez $24 x$ à partir de $96 x$ .

$24 x (x^{2}) + 24 x (- 4 x) + 24 x (4) = 0$

Étape 5.2.1.4

Factorisez $24 x$ à partir de $24 x (x^{2}) + 24 x (- 4 x)$ .

$24 x (x^{2} - 4 x) + 24 x (4) = 0$

Étape 5.2.1.5

Factorisez $24 x$ à partir de $24 x (x^{2} - 4 x) + 24 x (4)$ .

$24 x (x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.2.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$24 x (x^{2} - 4 x + 2^{2}) = 0$

Étape 5.2.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez le polynôme.

$24 x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Étape 5.2.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

$24 x {(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 5.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 5.5

Définissez ${(x - 2)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez ${(x - 2)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez ${(x - 2)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.5.2.1

Définissez le $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 5.5.2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $24 x {(x - 2)}^{2} = 0$ vraie.

$x = 0, 2$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, 2$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$72 {(0)}^{2} - 192 \cdot 0 + 96$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$72 \cdot 0 - 192 \cdot 0 + 96$

Étape 9.1.2

Multipliez $72$ par $0$ .

$0 - 192 \cdot 0 + 96$

Étape 9.1.3

Multipliez $- 192$ par $0$ .

$0 + 0 + 96$

Étape 9.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 9.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 96$

Étape 9.2.2

Additionnez $0$ et $96$ .

$96$

Étape 10

$x = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 6 {(0)}^{4} - 32 {(0)}^{3} + 48 {(0)}^{2} - 7$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 6 \cdot 0 - 32 {(0)}^{3} + 48 {(0)}^{2} - 7$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $6$ par $0$ .

$f (0) = 0 - 32 {(0)}^{3} + 48 {(0)}^{2} - 7$

Étape 11.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 32 \cdot 0 + 48 {(0)}^{2} - 7$

Étape 11.2.1.4

Multipliez $- 32$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 48 {(0)}^{2} - 7$

Étape 11.2.1.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 48 \cdot 0 - 7$

Étape 11.2.1.6

Multipliez $48$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 - 7$

Étape 11.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 11.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 7$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 - 7$

Étape 11.2.2.3

Soustrayez $7$ de $0$ .

$f (0) = - 7$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $- 7$ .

$y = - 7$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$72 {(2)}^{2} - 192 \cdot 2 + 96$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$72 \cdot 4 - 192 \cdot 2 + 96$

Étape 13.1.2

Multipliez $72$ par $4$ .

$288 - 192 \cdot 2 + 96$

Étape 13.1.3

Multipliez $- 192$ par $2$ .

$288 - 384 + 96$

Étape 13.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 13.2.1

Soustrayez $384$ de $288$ .

$- 96 + 96$

Étape 13.2.2

Additionnez $- 96$ et $96$ .

$0$

Étape 14

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 14.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 14.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée première $24 x^{3} - 96 x^{2} + 96 x$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 14.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = 24 {(- 2)}^{3} - 96 {(- 2)}^{2} + 96 (- 2)$

Étape 14.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.2.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f' (- 2) = 24 \cdot - 8 - 96 {(- 2)}^{2} + 96 (- 2)$

Étape 14.2.2.1.2

Multipliez $24$ par $- 8$ .

$f' (- 2) = - 192 - 96 {(- 2)}^{2} + 96 (- 2)$

Étape 14.2.2.1.3

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2) = - 192 - 96 \cdot 4 + 96 (- 2)$

Étape 14.2.2.1.4

Multipliez $- 96$ par $4$ .

$f' (- 2) = - 192 - 384 + 96 (- 2)$

Étape 14.2.2.1.5

Multipliez $96$ par $- 2$ .

$f' (- 2) = - 192 - 384 - 192$

Étape 14.2.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 14.2.2.2.1

Soustrayez $384$ de $- 192$ .

$f' (- 2) = - 576 - 192$

Étape 14.2.2.2.2

Soustrayez $192$ de $- 576$ .

$f' (- 2) = - 768$

Étape 14.2.2.3

La réponse finale est $- 768$ .

$- 768$

Étape 14.3

Remplacez tout nombre, tel que $1$ , de l’intervalle $(0, 2)$ dans la dérivée première $24 x^{3} - 96 x^{2} + 96 x$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 14.3.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = 24 {(1)}^{3} - 96 {(1)}^{2} + 96 (1)$

Étape 14.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.3.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 24 \cdot 1 - 96 {(1)}^{2} + 96 (1)$

Étape 14.3.2.1.2

Multipliez $24$ par $1$ .

$f' (1) = 24 - 96 {(1)}^{2} + 96 (1)$

Étape 14.3.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 24 - 96 \cdot 1 + 96 (1)$

Étape 14.3.2.1.4

Multipliez $- 96$ par $1$ .

$f' (1) = 24 - 96 + 96 (1)$

Étape 14.3.2.1.5

Multipliez $96$ par $1$ .

$f' (1) = 24 - 96 + 96$

Étape 14.3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 14.3.2.2.1

Soustrayez $96$ de $24$ .

$f' (1) = - 72 + 96$

Étape 14.3.2.2.2

Additionnez $- 72$ et $96$ .

$f' (1) = 24$

Étape 14.3.2.3

La réponse finale est $24$ .

$24$

Étape 14.4

Remplacez tout nombre, tel que $4$ , de l’intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée première $24 x^{3} - 96 x^{2} + 96 x$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 14.4.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = 24 {(4)}^{3} - 96 {(4)}^{2} + 96 (4)$

Étape 14.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.4.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$f' (4) = 24 \cdot 64 - 96 {(4)}^{2} + 96 (4)$

Étape 14.4.2.1.2

Multipliez $24$ par $64$ .

$f' (4) = 1536 - 96 {(4)}^{2} + 96 (4)$

Étape 14.4.2.1.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f' (4) = 1536 - 96 \cdot 16 + 96 (4)$

Étape 14.4.2.1.4

Multipliez $- 96$ par $16$ .

$f' (4) = 1536 - 1536 + 96 (4)$

Étape 14.4.2.1.5

Multipliez $96$ par $4$ .

$f' (4) = 1536 - 1536 + 384$

Étape 14.4.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 14.4.2.2.1

Soustrayez $1536$ de $1536$ .

$f' (4) = 0 + 384$

Étape 14.4.2.2.2

Additionnez $0$ et $384$ .

$f' (4) = 384$

Étape 14.4.2.3

La réponse finale est $384$ .

$384$

Étape 14.5

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 0$ , $x = 0$ est un minimum local.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 14.6

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = 2$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 14.7

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 6 x^{4} - 32 x^{3} + 48 x^{2} - 7$ .

$x = 0$ est un minimum local

Étape 15