Calcul infinitésimal Exemples

$f (θ) = 1 - \sin^{2} (θ)$ , $[\frac{π}{4}, π]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \sin^{2} (θ)$ par rapport à $θ$ est $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin^{2} (θ)]$ .

$\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin^{2} (θ)]$

Étape 1.1.1.1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $1$ par rapport à $θ$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d θ} [- \sin^{2} (θ)]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d θ} [- \sin^{2} (θ)]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $- \sin^{2} (θ)$ par rapport à $θ$ est $- \frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]$ .

$0 - \frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ est $f' (g (θ)) g' (θ)$ où $f (θ) = θ^{2}$ et $g (θ) = \sin (θ)$ .

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Étape 1.1.1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (θ)$ .

$0 - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\sin (θ)])$

Étape 1.1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - (2 u \frac{d}{d θ} [\sin (θ)])$

Étape 1.1.1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (θ)$ .

$0 - (2 \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)])$

Étape 1.1.1.2.3

La dérivée de $\sin (θ)$ par rapport à $θ$ est $\cos (θ)$ .

$0 - (2 \sin (θ) \cos (θ))$

Étape 1.1.1.2.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 - 2 \sin (θ) \cos (θ)$

Étape 1.1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.1.3.1

Soustrayez $2 \sin (θ) \cos (θ)$ de $0$ .

$- 2 \sin (θ) \cos (θ)$

Étape 1.1.1.3.2

Réorganisez les facteurs de $- 2 \sin (θ) \cos (θ)$ .

$f' (θ) = - 2 \cos (θ) \sin (θ)$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (θ)$ par rapport à $θ$ est $- 2 \cos (θ) \sin (θ)$ .

$- 2 \cos (θ) \sin (θ)$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 2 \cos (θ) \sin (θ) = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 2 \cos (θ) \sin (θ) = 0$

Étape 1.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cos (θ) = 0$

$\sin (θ) = 0$

Étape 1.2.3

Définissez $\cos (θ)$ égal à $0$ et résolvez $θ$ .

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Étape 1.2.3.1

Définissez $\cos (θ)$ égal à $0$ .

$\cos (θ) = 0$

Étape 1.2.3.2

Résolvez $\cos (θ) = 0$ pour $θ$ .

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Étape 1.2.3.2.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du cosinus.

$θ = \arccos (0)$

Étape 1.2.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Étape 1.2.3.2.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$θ = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 1.2.3.2.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 1.2.3.2.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 1.2.3.2.4.2

Associez les fractions.

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Étape 1.2.3.2.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 1.2.3.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 1.2.3.2.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.3.2.4.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$θ = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 1.2.3.2.4.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Étape 1.2.3.2.5

Déterminez la période de $\cos (θ)$ .

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Étape 1.2.3.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 1.2.3.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 1.2.3.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 1.2.3.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 1.2.3.2.6

La période de la fonction $\cos (θ)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.2.4

Définissez $\sin (θ)$ égal à $0$ et résolvez $θ$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $\sin (θ)$ égal à $0$ .

$\sin (θ) = 0$

Étape 1.2.4.2

Résolvez $\sin (θ) = 0$ pour $θ$ .

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Étape 1.2.4.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du sinus.

$θ = \arcsin (0)$

Étape 1.2.4.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$θ = 0$

Étape 1.2.4.2.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$θ = π - 0$

Étape 1.2.4.2.4

Soustrayez $0$ de $π$ .

$θ = π$

Étape 1.2.4.2.5

Déterminez la période de $\sin (θ)$ .

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Étape 1.2.4.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 1.2.4.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 1.2.4.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 1.2.4.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 1.2.4.2.6

La période de la fonction $\sin (θ)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 2 \cos (θ) \sin (θ) = 0$ vraie.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.2.6

Consolidez les réponses.

$θ = \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $1 - \sin^{2} (θ)$ sur chaque valeur $θ$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $θ = 0$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $θ$ par $0$ .

$1 - \sin^{2} (0)$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\cos^{2} (0)$

Étape 1.4.1.2.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$1^{2}$

Étape 1.4.1.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $θ = \frac{π}{2}$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $θ$ par $\frac{π}{2}$ .

$1 - \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\cos^{2} (\frac{π}{2})$

Étape 1.4.2.2.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$0^{2}$

Étape 1.4.2.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(0 + π n, 1), (\frac{π}{2} + π n, 0)$ , pour tout entier $n$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

$(π, 1), (\frac{π}{2}, 0)$

Étape 3

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 3.1

Évaluez sur $θ = \frac{π}{4}$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez $θ$ par $\frac{π}{4}$ .

$1 - \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 3.1.2

Simplifiez

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Étape 3.1.2.1

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\cos^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 3.1.2.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 3.1.2.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

Étape 3.1.2.4

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.1.2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Étape 3.1.2.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Étape 3.1.2.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Étape 3.1.2.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.2.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Étape 3.1.2.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2^{1}}{2^{2}}$

Étape 3.1.2.4.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2}{2^{2}}$

Étape 3.1.2.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{2}{4}$

Étape 3.1.2.6

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 3.1.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

Étape 3.1.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.2.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2}$

Étape 3.2

Évaluez sur $θ = π$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez $θ$ par $π$ .

$1 - \sin^{2} (π)$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\cos^{2} (π)$

Étape 3.2.2.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

${(- \cos (0))}^{2}$

Étape 3.2.2.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

${(- 1 \cdot 1)}^{2}$

Étape 3.2.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

${(- 1)}^{2}$

Étape 3.2.2.5

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1$

Étape 3.3

Indiquez tous les points.

$(\frac{π}{4}, \frac{1}{2}), (π, 1)$

Étape 4

Comparez les valeurs $f (θ)$ trouvées pour chaque valeur de $θ$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (θ)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (θ)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(π, 1)$

Minimum absolu : $(\frac{π}{2}, 0)$

Étape 5