Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ on $- 3$ , $3$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.2

Multipliez $x^{2} + 1$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.2.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.7

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$- x^{2} + 1 = 0$

Étape 1.2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 1.2.3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} = - 1$

Étape 1.2.3.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 1.2.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 1.2.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Étape 1.2.3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 1.2.3.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 1.2.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 1.2.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 1.2.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $\frac{x}{x^{2} + 1}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$\frac{1}{{(1)}^{2} + 1}$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.4.1.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{1 + 1}$

Étape 1.4.1.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = - 1$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

$\frac{- 1}{{(- 1)}^{2} + 1}$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 1}{1 + 1}$

Étape 1.4.2.2.1.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Étape 1.4.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2}$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(1, \frac{1}{2}), (- 1, - \frac{1}{2})$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = - 3$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $- 3$ .

$\frac{- 3}{{(- 3)}^{2} + 1}$

Étape 2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 3}{9 + 1}$

Étape 2.1.2.1.2

Additionnez $9$ et $1$ .

$\frac{- 3}{10}$

Étape 2.1.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{10}$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 3$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $3$ .

$\frac{3}{{(3)}^{2} + 1}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.2.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{3}{9 + 1}$

Étape 2.2.2.2

Additionnez $9$ et $1$ .

$\frac{3}{10}$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(- 3, - \frac{3}{10}), (3, \frac{3}{10})$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(1, \frac{1}{2})$

Minimum absolu : $(- 1, - \frac{1}{2})$

Étape 4