Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{2}{x^{4} - 16}$ on interval $- 1$ , $1.5$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{x^{4} - 16}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$

Étape 1.1.1.1.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{4} - 16}$ comme ${(x^{4} - 16)}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{4} - 16)}^{- 1}]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{4} - 16$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{4} - 16$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Étape 1.1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4} - 16$ .

$2 (- {(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Étape 1.1.1.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 ({(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Étape 1.1.1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16])$

Étape 1.1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16])$

Étape 1.1.1.3.4

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + 0)$

Étape 1.1.1.3.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.3.5.1

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3})$

Étape 1.1.1.3.5.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$- 8 {(x^{4} - 16)}^{- 2} x^{3}$

Étape 1.1.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Étape 1.1.1.5

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.5.1

Associez $- 8$ et $\frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$\frac{- 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Étape 1.1.1.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Étape 1.1.1.5.3

Associez $x^{3}$ et $\frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Étape 1.1.1.5.4

Déplacez $8$ à gauche de $x^{3}$ .

$f' (x) = - \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$8 x^{3} = 0$

Étape 1.2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $8 x^{3} = 0$ par $8$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1.1

Divisez chaque terme dans $8 x^{3} = 0$ par $8$ .

$\frac{8 x^{3}}{8} = \frac{0}{8}$

Étape 1.2.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 x^{3}}{8} = \frac{0}{8}$

Étape 1.2.3.1.2.1.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{8}$

Étape 1.2.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1.3.1

Divisez $0$ par $8$ .

$x^{3} = 0$

Étape 1.2.3.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 1.2.3.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x^{4} - 16)}^{2} = 0$

Étape 1.3.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1.1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

${({(x^{2})}^{2} - 16)}^{2} = 0$

Étape 1.3.2.1.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

${({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{2} = 0$

Étape 1.3.2.1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{2}$ et $b = 4$ .

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{2} = 0$

Étape 1.3.2.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{2} = 0$

Étape 1.3.2.1.4.2

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1.4.2.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

${((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)))}^{2} = 0$

Étape 1.3.2.1.4.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

${((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

Étape 1.3.2.1.5

Appliquez la règle de produit à $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

${((x^{2} + 4) (x + 2))}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 1.3.2.1.6

Appliquez la règle de produit à $(x^{2} + 4) (x + 2)$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 1.3.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 1.3.2.3

Définissez ${(x^{2} + 4)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.3.1

Définissez ${(x^{2} + 4)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

Étape 1.3.2.3.2

Résolvez ${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.3.2.1

Définissez le $x^{2} + 4$ égal à $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Étape 1.3.2.3.2.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.3.2.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 4$

Étape 1.3.2.3.2.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Étape 1.3.2.3.2.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.3.2.2.3.1

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Étape 1.3.2.3.2.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (4)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Étape 1.3.2.3.2.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Étape 1.3.2.3.2.2.3.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Étape 1.3.2.3.2.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \cdot 2$

Étape 1.3.2.3.2.2.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Étape 1.3.2.3.2.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.3.2.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2 i$

Étape 1.3.2.3.2.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2 i$

Étape 1.3.2.3.2.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2 i, - 2 i$

Étape 1.3.2.4

Définissez ${(x + 2)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.4.1

Définissez ${(x + 2)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Étape 1.3.2.4.2

Résolvez ${(x + 2)}^{2} = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.4.2.1

Définissez le $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 1.3.2.4.2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 1.3.2.5

Définissez ${(x - 2)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.5.1

Définissez ${(x - 2)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 1.3.2.5.2

Résolvez ${(x - 2)}^{2} = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.5.2.1

Définissez le $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 1.3.2.5.2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 1.3.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ vraie.

$x = 2 i, - 2 i, - 2, 2$

Étape 1.3.3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{2}{x^{4} - 16}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\frac{2}{{(0)}^{4} - 16}$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{2}{0 - 16}$

Étape 1.4.1.2.1.2

Soustrayez $16$ de $0$ .

$\frac{2}{- 16}$

Étape 1.4.1.2.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.2.1

Annulez le facteur commun à $2$ et $- 16$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{- 16}$

Étape 1.4.1.2.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 16$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 8}$

Étape 1.4.1.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 8}$

Étape 1.4.1.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{- 8}$

Étape 1.4.1.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{8}$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $- 2$ .

$\frac{2}{{(- 2)}^{4} - 16}$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$\frac{2}{16 - 16}$

Étape 1.4.2.2.2

Soustrayez $16$ de $16$ .

$\frac{2}{0}$

Étape 1.4.2.2.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 1.4.3

Évaluez sur $x = 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$\frac{2}{{(2)}^{4} - 16}$

Étape 1.4.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.2.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\frac{2}{16 - 16}$

Étape 1.4.3.2.2

Soustrayez $16$ de $16$ .

$\frac{2}{0}$

Étape 1.4.3.2.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 1.4.4

Indiquez tous les points.

$(0, - \frac{1}{8})$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Évaluez sur $x = - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

$\frac{2}{{(- 1)}^{4} - 16}$

Étape 2.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$\frac{2}{1 - 16}$

Étape 2.1.2.1.2

Soustrayez $16$ de $1$ .

$\frac{2}{- 15}$

Étape 2.1.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{15}$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 1.5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $1.5$ .

$\frac{2}{{(1.5)}^{4} - 16}$

Étape 2.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.1

Élevez $1.5$ à la puissance $4$ .

$\frac{2}{5.0625 - 16}$

Étape 2.2.2.1.2

Soustrayez $16$ de $5.0625$ .

$\frac{2}{- 10.9375}$

Étape 2.2.2.2

Divisez $2$ par $- 10.9375$ .

$- 0.18285714$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(- 1, - \frac{2}{15}), (1.5, - 0.18285714)$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(0, - \frac{1}{8})$

Minimum absolu : $(1.5, - 0.18285714)$

Étape 4