Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sin^{2} (x) - \cos (x)$ , and $0 \leq x \leq π$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin^{2} (x) - \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 1.1.1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Étape 1.1.1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Étape 1.1.1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Étape 1.1.1.2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.1.1.3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - - \sin (x)$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + 1 \sin (x)$

Étape 1.1.1.3.4

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)$

Étape 1.1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 \cos (x) \sin (x) + \sin (x)$

Étape 1.1.1.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.4.2.1

Remettez dans l’ordre $2 \cos (x)$ et $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x)$

Étape 1.1.1.4.2.2

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) + \sin (x)$

Étape 1.1.1.4.2.3

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$f' (x) = \sin (2 x) + \sin (x)$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (2 x) + \sin (x)$ .

$\sin (2 x) + \sin (x)$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\sin (2 x) + \sin (x) = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\sin (2 x) + \sin (x) = 0$

Étape 1.2.2

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x) = 0$

Étape 1.2.3

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)$ .

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Étape 1.2.3.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) = 0$

Étape 1.2.3.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) = 0$

Étape 1.2.3.3

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{1} (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot 1 = 0$

Étape 1.2.3.4

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot 1$ .

$\sin (x) (2 \cos (x) + 1) = 0$

Étape 1.2.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sin (x) = 0$

$2 \cos (x) + 1 = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ .

$\sin (x) = 0$

Étape 1.2.5.2

Résolvez $\sin (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 1.2.5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.2.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5.2.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Étape 1.2.5.2.4

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 1.2.5.2.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 1.2.5.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 1.2.5.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 1.2.5.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 1.2.5.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 1.2.5.2.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.2.6

Définissez $2 \cos (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Définissez $2 \cos (x) + 1$ égal à $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

Étape 1.2.6.2

Résolvez $2 \cos (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.6.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 \cos (x) = - 1$

Étape 1.2.6.2.2

Divisez chaque terme dans $2 \cos (x) = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \cos (x) = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 1.2.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 1.2.6.2.2.2.1.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

Étape 1.2.6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.6.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Étape 1.2.6.2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Étape 1.2.6.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.6.2.4.1

La valeur exacte de $\arccos (- \frac{1}{2})$ est $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Étape 1.2.6.2.5

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Étape 1.2.6.2.6

Simplifiez $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Étape 1.2.6.2.6.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Étape 1.2.6.2.6.2

Associez les fractions.

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Étape 1.2.6.2.6.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Étape 1.2.6.2.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Étape 1.2.6.2.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.2.6.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Étape 1.2.6.2.6.3.2

Soustrayez $2 π$ de $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Étape 1.2.6.2.7

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 1.2.6.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 1.2.6.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 1.2.6.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 1.2.6.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 1.2.6.2.8

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\sin (x) (2 \cos (x) + 1) = 0$ vraie.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.2.8

Consolidez $2 π n$ et $π + 2 π n$ en $π n$ .

$x = π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $\sin^{2} (x) - \cos (x)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\sin^{2} (0) - \cos (0)$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$0^{2} - \cos (0)$

Étape 1.4.1.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - \cos (0)$

Étape 1.4.1.2.1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Étape 1.4.1.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 - 1$

Étape 1.4.1.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- 1$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = π$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $π$ .

$\sin^{2} (π) - \cos (π)$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\sin^{2} (0) - \cos (π)$

Étape 1.4.2.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$0^{2} - \cos (π)$

Étape 1.4.2.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - \cos (π)$

Étape 1.4.2.2.1.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$0 - - \cos (0)$

Étape 1.4.2.2.1.5

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$0 - (- 1 \cdot 1)$

Étape 1.4.2.2.1.6

Multipliez $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 1.4.2.2.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 - - 1$

Étape 1.4.2.2.1.6.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$0 + 1$

Étape 1.4.2.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 1.4.3

Évaluez sur $x = \frac{2 π}{3}$ .

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Étape 1.4.3.1

Remplacez $x$ par $\frac{2 π}{3}$ .

$\sin^{2} (\frac{2 π}{3}) - \cos (\frac{2 π}{3})$

Étape 1.4.3.2

Simplifiez

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Étape 1.4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.3.2.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\sin^{2} (\frac{π}{3}) - \cos (\frac{2 π}{3})$

Étape 1.4.3.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - \cos (\frac{2 π}{3})$

Étape 1.4.3.2.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} - \cos (\frac{2 π}{3})$

Étape 1.4.3.2.1.4

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.4.3.2.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - \cos (\frac{2 π}{3})$

Étape 1.4.3.2.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - \cos (\frac{2 π}{3})$

Étape 1.4.3.2.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - \cos (\frac{2 π}{3})$

Étape 1.4.3.2.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.3.2.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - \cos (\frac{2 π}{3})$

Étape 1.4.3.2.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3^{1}}{2^{2}} - \cos (\frac{2 π}{3})$

Étape 1.4.3.2.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{3}{2^{2}} - \cos (\frac{2 π}{3})$

Étape 1.4.3.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{3}{4} - \cos (\frac{2 π}{3})$

Étape 1.4.3.2.1.6

$\frac{3}{4} - - \cos (\frac{π}{3})$

Étape 1.4.3.2.1.7

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{4} - - \frac{1}{2}$

Étape 1.4.3.2.1.8

Multipliez $- - \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.4.3.2.1.8.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{3}{4} + 1 (\frac{1}{2})$

Étape 1.4.3.2.1.8.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{3}{4} + \frac{1}{2}$

Étape 1.4.3.2.2

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.4.3.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.4.3.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}$

Étape 1.4.3.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{3}{4} + \frac{2}{4}$

Étape 1.4.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 + 2}{4}$

Étape 1.4.3.2.5

Additionnez $3$ et $2$ .

$\frac{5}{4}$

Étape 1.4.4

Indiquez tous les points.

$(0 + 2 π n, - 1), (π + 2 π n, 1), (\frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{5}{4})$ , pour tout entier $n$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

$(0, - 1), (π, 1), (\frac{2 π}{3}, \frac{5}{4})$

Étape 3

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 3.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\sin^{2} (0) - \cos (0)$

Étape 3.1.2

Simplifiez

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$0^{2} - \cos (0)$

Étape 3.1.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - \cos (0)$

Étape 3.1.2.1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Étape 3.1.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 - 1$

Étape 3.1.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- 1$

Étape 3.2

Évaluez sur $x = π$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez $x$ par $π$ .

$\sin^{2} (π) - \cos (π)$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\sin^{2} (0) - \cos (π)$

Étape 3.2.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$0^{2} - \cos (π)$

Étape 3.2.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - \cos (π)$

Étape 3.2.2.1.4

$0 - - \cos (0)$

Étape 3.2.2.1.5

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$0 - (- 1 \cdot 1)$

Étape 3.2.2.1.6

Multipliez $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 3.2.2.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 - - 1$

Étape 3.2.2.1.6.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$0 + 1$

Étape 3.2.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 3.3

Indiquez tous les points.

$(0, - 1), (π, 1)$

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(\frac{2 π}{3}, \frac{5}{4})$

Minimum absolu : $(0, - 1)$

Étape 5