Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{5} - 5 x^{4}$ on $- 1$ , $3$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{5} - 5 x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{5}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{5}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $5$ par $2$ .

$10 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$10 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$10 x^{4} - 5 (4 x^{3})$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $4$ par $- 5$ .

$f' (x) = 10 x^{4} - 20 x^{3}$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $10 x^{4} - 20 x^{3}$ .

$10 x^{4} - 20 x^{3}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $10 x^{4} - 20 x^{3} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$10 x^{4} - 20 x^{3} = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $10 x^{3}$ à partir de $10 x^{4} - 20 x^{3}$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $10 x^{3}$ à partir de $10 x^{4}$ .

$10 x^{3} (x) - 20 x^{3} = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $10 x^{3}$ à partir de $- 20 x^{3}$ .

$10 x^{3} (x) + 10 x^{3} (- 2) = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $10 x^{3}$ à partir de $10 x^{3} (x) + 10 x^{3} (- 2)$ .

$10 x^{3} (x - 2) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{3} = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x^{3}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $x^{3}$ égal à $0$ .

$x^{3} = 0$

Étape 1.2.4.2

Résolvez $x^{3} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 1.2.4.2.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 1.2.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 1.2.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 1.2.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $10 x^{3} (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 0, 2$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $2 x^{5} - 5 x^{4}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$2 {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{4}$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$2 \cdot 0 - 5 {(0)}^{4}$

Étape 1.4.1.2.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$0 - 5 {(0)}^{4}$

Étape 1.4.1.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 5 \cdot 0$

Étape 1.4.1.2.1.4

Multipliez $- 5$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 1.4.1.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$2 {(2)}^{5} - 5 {(2)}^{4}$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Multipliez $2$ par ${(2)}^{5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.2.2.1.1.1

Multipliez $2$ par ${(2)}^{5}$ .

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Étape 1.4.2.2.1.1.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$2^{1} {(2)}^{5} - 5 {(2)}^{4}$

Étape 1.4.2.2.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2^{1 + 5} - 5 {(2)}^{4}$

Étape 1.4.2.2.1.1.2

Additionnez $1$ et $5$ .

$2^{6} - 5 {(2)}^{4}$

Étape 1.4.2.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $6$ .

$64 - 5 {(2)}^{4}$

Étape 1.4.2.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$64 - 5 \cdot 16$

Étape 1.4.2.2.1.4

Multipliez $- 5$ par $16$ .

$64 - 80$

Étape 1.4.2.2.2

Soustrayez $80$ de $64$ .

$- 16$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(0, 0), (2, - 16)$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = - 1$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

$2 {(- 1)}^{5} - 5 {(- 1)}^{4}$

Étape 2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$2 \cdot - 1 - 5 {(- 1)}^{4}$

Étape 2.1.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 - 5 {(- 1)}^{4}$

Étape 2.1.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$- 2 - 5 \cdot 1$

Étape 2.1.2.1.4

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$- 2 - 5$

Étape 2.1.2.2

Soustrayez $5$ de $- 2$ .

$- 7$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 3$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $3$ .

$2 {(3)}^{5} - 5 {(3)}^{4}$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$2 \cdot 243 - 5 {(3)}^{4}$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $2$ par $243$ .

$486 - 5 {(3)}^{4}$

Étape 2.2.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$486 - 5 \cdot 81$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $- 5$ par $81$ .

$486 - 405$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $405$ de $486$ .

$81$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(- 1, - 7), (3, 81)$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(3, 81)$

Minimum absolu : $(2, - 16)$

Étape 4