Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x {(x - 4)}^{2}$ ; $[0, 4]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Réécrivez ${(x - 4)}^{2}$ comme $(x - 4) (x - 4)$ .

$\frac{d}{d x} [x ((x - 4) (x - 4))]$

Étape 1.1.1.2

Développez $(x - 4) (x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x (x (x - 4) - 4 (x - 4))]$

Étape 1.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4))]$

Étape 1.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4)]$

Étape 1.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4)]$

Étape 1.1.1.3.1.2

Déplacez $- 4$ à gauche de $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4)]$

Étape 1.1.1.3.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 4 x - 4 x + 16)]$

Étape 1.1.1.3.2

Soustrayez $4 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 8 x + 16)]$

Étape 1.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x^{2} - 8 x + 16$ .

$x \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16] + (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.5

Différenciez.

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Étape 1.1.1.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 8 x + 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.5.3

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.5.5

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$x (2 x - 8 + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.5.6

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x (2 x - 8 + 0) + (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.5.7

Additionnez $2 x - 8$ et $0$ .

$x (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.5.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 16) \cdot 1$

Étape 1.1.1.5.9

Multipliez $x^{2} - 8 x + 16$ par $1$ .

$x (2 x - 8) + x^{2} - 8 x + 16$

Étape 1.1.1.6

Simplifiez

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Étape 1.1.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (2 x) + x \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 16$

Étape 1.1.1.6.2

Associez des termes.

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Étape 1.1.1.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (x^{1} x) + x \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 16$

Étape 1.1.1.6.2.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) + x \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 16$

Étape 1.1.1.6.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{1 + 1} + x \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 16$

Étape 1.1.1.6.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 x^{2} + x \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 16$

Étape 1.1.1.6.2.5

Déplacez $- 8$ à gauche de $x$ .

$2 x^{2} - 8 \cdot x + x^{2} - 8 x + 16$

Étape 1.1.1.6.2.6

Additionnez $2 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$3 x^{2} - 8 x - 8 x + 16$

Étape 1.1.1.6.2.7

Soustrayez $8 x$ de $- 8 x$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x + 16$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 16 x + 16$ .

$3 x^{2} - 16 x + 16$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 16 x + 16 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 16 x + 16 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 16 = 48$ et dont la somme est $b = - 16$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Factorisez $- 16$ à partir de $- 16 x$ .

$3 x^{2} - 16 x + 16 = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Réécrivez $- 16$ comme $- 4$ plus $- 12$

$3 x^{2} + (- 4 - 12) x + 16 = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} - 4 x - 12 x + 16 = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 x^{2} - 4 x) - 12 x + 16 = 0$

Étape 1.2.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (3 x - 4) - 4 (3 x - 4) = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x - 4$ .

$(3 x - 4) (x - 4) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x - 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $3 x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $3 x - 4$ égal à $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Étape 1.2.4.2

Résolvez $3 x - 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.4.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 4$

Étape 1.2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 4$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 1.2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 4$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Étape 1.2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Étape 1.2.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Étape 1.2.5

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 1.2.5.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x - 4) (x - 4) = 0$ vraie.

$x = \frac{4}{3}, 4$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $x {(x - 4)}^{2}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = \frac{4}{3}$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{4}{3}$ .

$(\frac{4}{3}) {((\frac{4}{3}) - 4)}^{2}$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Pour écrire $- 4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} {(\frac{4}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3})}^{2}$

Étape 1.4.1.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} {(\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3})}^{2}$

Étape 1.4.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4}{3} {(\frac{4 - 4 \cdot 3}{3})}^{2}$

Étape 1.4.1.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.1.2.4.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$\frac{4}{3} {(\frac{4 - 12}{3})}^{2}$

Étape 1.4.1.2.4.2

Soustrayez $12$ de $4$ .

$\frac{4}{3} {(\frac{- 8}{3})}^{2}$

Étape 1.4.1.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{4}{3} {(- \frac{8}{3})}^{2}$

Étape 1.4.1.2.6

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 1.4.1.2.6.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{8}{3}$ .

$\frac{4}{3} ({(- 1)}^{2} {(\frac{8}{3})}^{2})$

Étape 1.4.1.2.6.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{8}{3}$ .

$\frac{4}{3} ({(- 1)}^{2} \frac{8^{2}}{3^{2}})$

Étape 1.4.1.2.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.1.2.7.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{4}{3} (1 \frac{8^{2}}{3^{2}})$

Étape 1.4.1.2.7.2

Multipliez $\frac{8^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{8^{2}}{3^{2}}$

Étape 1.4.1.2.8

Associez.

$\frac{4 \cdot 8^{2}}{3 \cdot 3^{2}}$

Étape 1.4.1.2.9

Multipliez $3$ par $3^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.1.2.9.1

Multipliez $3$ par $3^{2}$ .

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Étape 1.4.1.2.9.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 \cdot 8^{2}}{3^{1} \cdot 3^{2}}$

Étape 1.4.1.2.9.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 \cdot 8^{2}}{3^{1 + 2}}$

Étape 1.4.1.2.9.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{4 \cdot 8^{2}}{3^{3}}$

Étape 1.4.1.2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.1.2.10.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{2^{2} \cdot 8^{2}}{3^{3}}$

Étape 1.4.1.2.10.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\frac{2^{2} \cdot {(2^{3})}^{2}}{3^{3}}$

Étape 1.4.1.2.10.3

Multipliez les exposants dans ${(2^{3})}^{2}$ .

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Étape 1.4.1.2.10.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{2} \cdot 2^{3 \cdot 2}}{3^{3}}$

Étape 1.4.1.2.10.3.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{2^{2} \cdot 2^{6}}{3^{3}}$

Étape 1.4.1.2.10.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2^{2 + 6}}{3^{3}}$

Étape 1.4.1.2.10.5

Additionnez $2$ et $6$ .

$\frac{2^{8}}{3^{3}}$

Étape 1.4.1.2.11

Évaluez les exposants.

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Étape 1.4.1.2.11.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{2^{8}}{27}$

Étape 1.4.1.2.11.2

Élevez $2$ à la puissance $8$ .

$\frac{256}{27}$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = 4$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $4$ .

$(4) {((4) - 4)}^{2}$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Soustrayez $4$ de $4$ .

$4 \cdot 0^{2}$

Étape 1.4.2.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$4 \cdot 0$

Étape 1.4.2.2.3

Multipliez $4$ par $0$ .

$0$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(\frac{4}{3}, \frac{256}{27}), (4, 0)$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$(0) {((0) - 4)}^{2}$

Étape 2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1

Soustrayez $4$ de $0$ .

$0 {(- 4)}^{2}$

Étape 2.1.2.2

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$0 \cdot 16$

Étape 2.1.2.3

Multipliez $0$ par $16$ .

$0$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 4$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $4$ .

$(4) {((4) - 4)}^{2}$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Soustrayez $4$ de $4$ .

$4 \cdot 0^{2}$

Étape 2.2.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$4 \cdot 0$

Étape 2.2.2.3

Multipliez $4$ par $0$ .

$0$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(0, 0), (4, 0)$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(\frac{4}{3}, \frac{256}{27})$

Minimum absolu : $(0, 0), (4, 0)$

Étape 4