Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sin (\frac{x}{2})$ , $[0, 4 π]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Étape 1.1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Étape 1.1.1.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Étape 1.1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.1.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\cos (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Étape 1.1.1.2.4

Multipliez $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$\cos (\frac{x}{2}) = 0$

Étape 1.2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 1.2.3.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$\frac{x}{2} = \arccos (0)$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Étape 1.2.3.3

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$x = π$

Étape 1.2.3.4

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 1.2.3.5

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.3.5.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Étape 1.2.3.5.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 1.2.3.5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.5.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Étape 1.2.3.5.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Étape 1.2.3.5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.5.2.2.1

Simplifiez $2 (2 π - \frac{π}{2})$ .

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Étape 1.2.3.5.2.2.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Étape 1.2.3.5.2.2.1.2

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Étape 1.2.3.5.2.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 1.2.3.5.2.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.5.2.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 1.2.3.5.2.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 π \cdot 2 - π$

Étape 1.2.3.5.2.2.1.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = 4 π - π$

Étape 1.2.3.5.2.2.1.6

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = 3 π$

Étape 1.2.3.6

Déterminez la période de $\cos (\frac{x}{2})$ .

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Étape 1.2.3.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 1.2.3.6.2

Remplacez $b$ par $\frac{1}{2}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Étape 1.2.3.6.3

$\frac{1}{2}$ est d’environ $0.5$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Étape 1.2.3.6.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \cdot 2$

Étape 1.2.3.6.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 π$

Étape 1.2.3.7

La période de la fonction $\cos (\frac{x}{2})$ est $4 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $4 π$ radians dans les deux sens.

$x = π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.2.4

Consolidez les réponses.

$x = π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $\sin (\frac{x}{2})$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = π$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $π$ .

$\sin (\frac{π}{2})$

Étape 1.4.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$1$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = 3 π$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $3 π$ .

$\sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$- \sin (\frac{π}{2})$

Étape 1.4.2.2.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 1.4.2.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(π + 4 π n, 1), (3 π + 4 π n, - 1)$ , pour tout entier $n$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

$(π, 1), (3 π, - 1)$

Étape 3

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 3.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\sin (\frac{0}{2})$

Étape 3.1.2

Simplifiez

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Étape 3.1.2.1

Divisez $0$ par $2$ .

$\sin (0)$

Étape 3.1.2.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$0$

Étape 3.2

Évaluez sur $x = 4 π$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez $x$ par $4 π$ .

$\sin (\frac{4 π}{2})$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 π$ .

$\sin (\frac{2 (2 π)}{2})$

Étape 3.2.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\sin (\frac{2 (2 π)}{2 (1)})$

Étape 3.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (\frac{2 (2 π)}{2 \cdot 1})$

Étape 3.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (\frac{2 π}{1})$

Étape 3.2.2.1.2.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$\sin (2 π)$

Étape 3.2.2.2

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\sin (0)$

Étape 3.2.2.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$0$

Étape 3.3

Indiquez tous les points.

$(0, 0), (4 π, 0)$

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(π, 1)$

Minimum absolu : $(3 π, - 1)$

Étape 5