Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \cos (x)$ , $[π, 3 π]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f' (x) = - \sin (x)$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \sin (x) = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \sin (x) = 0$

Étape 1.2.2

Divisez chaque terme dans $- \sin (x) = 0$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- \sin (x) = 0$ par $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 1.2.2.2.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{0}{- 1}$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

$\sin (x) = 0$

Étape 1.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 1.2.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Étape 1.2.6

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 1.2.7

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 1.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 1.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 1.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 1.2.8

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.2.9

Consolidez les réponses.

$x = π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $\cos (x)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\cos (0)$

Étape 1.4.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$1$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = π$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $π$ .

$\cos (π)$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- \cos (0)$

Étape 1.4.2.2.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 1.4.2.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(0 + 2 π n, 1), (π + 2 π n, - 1)$ , pour tout entier $n$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

$(2 π, 1), (π, - 1), (3 π, - 1)$

Étape 3

Évaluez sur les points finaux inclus.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Évaluez sur $x = π$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Remplacez $x$ par $π$ .

$\cos (π)$

Étape 3.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1

$- \cos (0)$

Étape 3.1.2.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 3.1.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 3.2

Évaluez sur $x = 3 π$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Remplacez $x$ par $3 π$ .

$\cos (3 π)$

Étape 3.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\cos (π)$

Étape 3.2.2.2

$- \cos (0)$

Étape 3.2.2.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 3.2.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 3.3

Indiquez tous les points.

$(π, - 1), (3 π, - 1)$

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(2 π, 1)$

Minimum absolu : $(π, - 1), (3 π, - 1)$

Étape 5