Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 5 \sin (x) + 5 \cos (x)$ , $0 \leq x \leq 2 π$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 \sin (x) + 5 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 \sin (x)]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$

Étape 1.1.1.2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$5 \cos (x) + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$5 \cos (x) + 5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.1.1.3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$5 \cos (x) + 5 (- \sin (x))$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f' (x) = 5 \cos (x) - 5 \sin (x)$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $5 \cos (x) - 5 \sin (x)$ .

$5 \cos (x) - 5 \sin (x)$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $5 \cos (x) - 5 \sin (x) = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$5 \cos (x) - 5 \sin (x) = 0$

Étape 1.2.2

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{5 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 5 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 1.2.3

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 5 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 1.2.3.2

Divisez $5$ par $1$ .

$5 + \frac{- 5 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 1.2.4

Séparez les fractions.

$5 + \frac{- 5}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 1.2.5

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$5 + \frac{- 5}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 1.2.6

Divisez $- 5$ par $1$ .

$5 - 5 \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 1.2.7

Séparez les fractions.

$5 - 5 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 1.2.8

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$5 - 5 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Étape 1.2.9

Divisez $0$ par $1$ .

$5 - 5 \tan (x) = 0 \sec (x)$

Étape 1.2.10

Multipliez $0$ par $\sec (x)$ .

$5 - 5 \tan (x) = 0$

Étape 1.2.11

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$- 5 \tan (x) = - 5$

Étape 1.2.12

Divisez chaque terme dans $- 5 \tan (x) = - 5$ par $- 5$ et simplifiez.

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Étape 1.2.12.1

Divisez chaque terme dans $- 5 \tan (x) = - 5$ par $- 5$ .

$\frac{- 5 \tan (x)}{- 5} = \frac{- 5}{- 5}$

Étape 1.2.12.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.12.2.1

Annulez le facteur commun de $- 5$ .

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Étape 1.2.12.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5 \tan (x)}{- 5} = \frac{- 5}{- 5}$

Étape 1.2.12.2.1.2

Divisez $\tan (x)$ par $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 5}{- 5}$

Étape 1.2.12.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.12.3.1

Divisez $- 5$ par $- 5$ .

$\tan (x) = 1$

Étape 1.2.13

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (1)$

Étape 1.2.14

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.14.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 1.2.15

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + \frac{π}{4}$

Étape 1.2.16

Simplifiez $π + \frac{π}{4}$ .

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Étape 1.2.16.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 1.2.16.2

Associez les fractions.

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Étape 1.2.16.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 1.2.16.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 1.2.16.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.16.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Étape 1.2.16.3.2

Additionnez $4 π$ et $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Étape 1.2.17

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 1.2.17.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 1.2.17.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 1.2.17.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 1.2.17.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 1.2.18

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $5 \sin (x) + 5 \cos (x)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = \frac{π}{4}$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{π}{4}$ .

$5 \sin (\frac{π}{4}) + 5 \cos (\frac{π}{4})$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$5 \frac{\sqrt{2}}{2} + 5 \cos (\frac{π}{4})$

Étape 1.4.1.2.1.2

Associez $5$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{2}}{2} + 5 \cos (\frac{π}{4})$

Étape 1.4.1.2.1.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{2}}{2} + 5 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1.4.1.2.1.4

Associez $5$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Étape 1.4.1.2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 1.4.1.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2}}{2}$

Étape 1.4.1.2.2.2

Additionnez $5 \sqrt{2}$ et $5 \sqrt{2}$ .

$\frac{10 \sqrt{2}}{2}$

Étape 1.4.1.2.2.3

Annulez le facteur commun à $10$ et $2$ .

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Étape 1.4.1.2.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $10 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (5 \sqrt{2})}{2}$

Étape 1.4.1.2.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.1.2.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (5 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Étape 1.4.1.2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (5 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.2.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 \sqrt{2}}{1}$

Étape 1.4.1.2.2.3.2.4

Divisez $5 \sqrt{2}$ par $1$ .

$5 \sqrt{2}$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = \frac{5 π}{4}$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{5 π}{4}$ .

$5 \sin (\frac{5 π}{4}) + 5 \cos (\frac{5 π}{4})$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le troisième quadrant.

$5 (- \sin (\frac{π}{4})) + 5 \cos (\frac{5 π}{4})$

Étape 1.4.2.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$5 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 5 \cos (\frac{5 π}{4})$

Étape 1.4.2.2.1.3

Multipliez $5 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Étape 1.4.2.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$- 5 \frac{\sqrt{2}}{2} + 5 \cos (\frac{5 π}{4})$

Étape 1.4.2.2.1.3.2

Associez $- 5$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- 5 \sqrt{2}}{2} + 5 \cos (\frac{5 π}{4})$

Étape 1.4.2.2.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5 \sqrt{2}}{2} + 5 \cos (\frac{5 π}{4})$

Étape 1.4.2.2.1.5

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

$- \frac{5 \sqrt{2}}{2} + 5 (- \cos (\frac{π}{4}))$

Étape 1.4.2.2.1.6

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{5 \sqrt{2}}{2} + 5 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 1.4.2.2.1.7

Multipliez $5 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Étape 1.4.2.2.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$- \frac{5 \sqrt{2}}{2} - 5 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1.4.2.2.1.7.2

Associez $- 5$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{- 5 \sqrt{2}}{2}$

Étape 1.4.2.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5 \sqrt{2}}{2} - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Étape 1.4.2.2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 1.4.2.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 5 \sqrt{2} - 5 \sqrt{2}}{2}$

Étape 1.4.2.2.2.2

Soustrayez $5 \sqrt{2}$ de $- 5 \sqrt{2}$ .

$\frac{- 10 \sqrt{2}}{2}$

Étape 1.4.2.2.2.3

Annulez le facteur commun à $- 10$ et $2$ .

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Étape 1.4.2.2.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 10 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- 5 \sqrt{2})}{2}$

Étape 1.4.2.2.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.2.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (- 5 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Étape 1.4.2.2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 5 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.2.2.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 5 \sqrt{2}}{1}$

Étape 1.4.2.2.2.3.2.4

Divisez $- 5 \sqrt{2}$ par $1$ .

$- 5 \sqrt{2}$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(\frac{π}{4} + 2 π n, 5 \sqrt{2}), (\frac{5 π}{4} + 2 π n, - 5 \sqrt{2})$ , pour tout entier $n$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

$(\frac{π}{4}, 5 \sqrt{2}), (\frac{5 π}{4}, - 5 \sqrt{2})$

Étape 3

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 3.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$5 \sin (0) + 5 \cos (0)$

Étape 3.1.2

Simplifiez

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$5 \cdot 0 + 5 \cos (0)$

Étape 3.1.2.1.2

Multipliez $5$ par $0$ .

$0 + 5 \cos (0)$

Étape 3.1.2.1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$0 + 5 \cdot 1$

Étape 3.1.2.1.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$0 + 5$

Étape 3.1.2.2

Additionnez $0$ et $5$ .

$5$

Étape 3.2

Évaluez sur $x = 2 π$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez $x$ par $2 π$ .

$5 \sin (2 π) + 5 \cos (2 π)$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$5 \sin (0) + 5 \cos (2 π)$

Étape 3.2.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$5 \cdot 0 + 5 \cos (2 π)$

Étape 3.2.2.1.3

Multipliez $5$ par $0$ .

$0 + 5 \cos (2 π)$

Étape 3.2.2.1.4

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$0 + 5 \cos (0)$

Étape 3.2.2.1.5

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$0 + 5 \cdot 1$

Étape 3.2.2.1.6

Multipliez $5$ par $1$ .

$0 + 5$

Étape 3.2.2.2

Additionnez $0$ et $5$ .

$5$

Étape 3.3

Indiquez tous les points.

$(0, 5), (2 π, 5)$

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(\frac{π}{4}, 5 \sqrt{2})$

Minimum absolu : $(\frac{5 π}{4}, - 5 \sqrt{2})$

Étape 5