Calcul infinitésimal Exemples

$p = \frac{1}{12} x^{2} - 14 x + 588$ , $0 \leq x \leq 84$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{12} x^{2} - 14 x + 588$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x] + \frac{d}{d x} [588]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x] + \frac{d}{d x} [588]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{2}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $\frac{1}{12}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{12} x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x] + \frac{d}{d x} [588]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{12} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 14 x] + \frac{d}{d x} [588]$

Étape 1.1.1.2.3

Associez $2$ et $\frac{1}{12}$ .

$\frac{2}{12} x + \frac{d}{d x} [- 14 x] + \frac{d}{d x} [588]$

Étape 1.1.1.2.4

Associez $\frac{2}{12}$ et $x$ .

$\frac{2 x}{12} + \frac{d}{d x} [- 14 x] + \frac{d}{d x} [588]$

Étape 1.1.1.2.5

Annulez le facteur commun à $2$ et $12$ .

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Étape 1.1.1.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 (x)}{12} + \frac{d}{d x} [- 14 x] + \frac{d}{d x} [588]$

Étape 1.1.1.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$\frac{2 x}{2 \cdot 6} + \frac{d}{d x} [- 14 x] + \frac{d}{d x} [588]$

Étape 1.1.1.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2 \cdot 6} + \frac{d}{d x} [- 14 x] + \frac{d}{d x} [588]$

Étape 1.1.1.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x}{6} + \frac{d}{d x} [- 14 x] + \frac{d}{d x} [588]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 14 x]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 14$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 14 x$ par rapport à $x$ est $- 14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{6} - 14 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [588]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x}{6} - 14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [588]$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $- 14$ par $1$ .

$\frac{x}{6} - 14 + \frac{d}{d x} [588]$

Étape 1.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.1.4.1

Comme $588$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $588$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x}{6} - 14 + 0$

Étape 1.1.1.4.2

Additionnez $\frac{x}{6} - 14$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{6} - 14$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{x}{6} - 14$ .

$\frac{x}{6} - 14$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{x}{6} - 14 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{x}{6} - 14 = 0$

Étape 1.2.2

Ajoutez $14$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{x}{6} = 14$

Étape 1.2.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $6$ .

$6 \frac{x}{6} = 6 \cdot 14$

Étape 1.2.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 1.2.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.4.1.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 1.2.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$6 \frac{x}{6} = 6 \cdot 14$

Étape 1.2.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 6 \cdot 14$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Multipliez $6$ par $14$ .

$x = 84$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $\frac{1}{12} x^{2} - 14 x + 588$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 84$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $84$ .

$\frac{1}{12} \cdot {(84)}^{2} - 14 \cdot 84 + 588$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

Élevez $84$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{12} \cdot 7056 - 14 \cdot 84 + 588$

Étape 1.4.1.2.1.2

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 1.4.1.2.1.2.1

Factorisez $12$ à partir de $7056$ .

$\frac{1}{12} \cdot (12 (588)) - 14 \cdot 84 + 588$

Étape 1.4.1.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{12} \cdot (12 \cdot 588) - 14 \cdot 84 + 588$

Étape 1.4.1.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$588 - 14 \cdot 84 + 588$

Étape 1.4.1.2.1.3

Multipliez $- 14$ par $84$ .

$588 - 1176 + 588$

Étape 1.4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.4.1.2.2.1

Soustrayez $1176$ de $588$ .

$- 588 + 588$

Étape 1.4.1.2.2.2

Additionnez $- 588$ et $588$ .

$0$

Étape 1.4.2

Indiquez tous les points.

$(84, 0)$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\frac{1}{12} \cdot {(0)}^{2} - 14 \cdot 0 + 588$

Étape 2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{12} \cdot 0 - 14 \cdot 0 + 588$

Étape 2.1.2.1.2

Multipliez $\frac{1}{12}$ par $0$ .

$0 - 14 \cdot 0 + 588$

Étape 2.1.2.1.3

Multipliez $- 14$ par $0$ .

$0 + 0 + 588$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 2.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 588$

Étape 2.1.2.2.2

Additionnez $0$ et $588$ .

$588$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 84$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $84$ .

$\frac{1}{12} \cdot {(84)}^{2} - 14 \cdot 84 + 588$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Élevez $84$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{12} \cdot 7056 - 14 \cdot 84 + 588$

Étape 2.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 2.2.2.1.2.1

Factorisez $12$ à partir de $7056$ .

$\frac{1}{12} \cdot (12 (588)) - 14 \cdot 84 + 588$

Étape 2.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{12} \cdot (12 \cdot 588) - 14 \cdot 84 + 588$

Étape 2.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$588 - 14 \cdot 84 + 588$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $- 14$ par $84$ .

$588 - 1176 + 588$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.2.2.2.1

Soustrayez $1176$ de $588$ .

$- 588 + 588$

Étape 2.2.2.2.2

Additionnez $- 588$ et $588$ .

$0$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(0, 588), (84, 0)$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(0, 588)$

Minimum absolu : $(84, 0)$

Étape 4