Calcul infinitésimal Exemples

Comme ${\displaystyle 3}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle 3x^{\frac{2}{3}}}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle 3\frac{d}{dx}\left[x^{\frac{2}{3}}\right]}$.

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ est ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ où ${\displaystyle n=\frac{2}{3}}$.

Pour écrire ${\displaystyle -1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Associez ${\displaystyle -1}$ et ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

Simplifiez le numérateur.

Placez le signe moins devant la fraction.

Associez ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ et ${\displaystyle x^{-\frac{1}{3}}}$.

Associez ${\displaystyle 3}$ et ${\displaystyle \frac{2x^{-\frac{1}{3}}}{3}}$.

Multipliez ${\displaystyle 2}$ par ${\displaystyle 3}$.

Placez ${\displaystyle x^{-\frac{1}{3}}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Factorisez ${\displaystyle 3}$ à partir de ${\displaystyle 6}$.

Annulez les facteurs communs.

Comme ${\displaystyle -2}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle -2x}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle -2\frac{d}{dx}\left[x\right]}$.

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ est ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ où ${\displaystyle n=1}$.

Multipliez ${\displaystyle -2}$ par ${\displaystyle 1}$.

Comme ${\displaystyle 2}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle 2\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}\right]}$.

Réécrivez ${\displaystyle \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}}$ comme ${\displaystyle {\left(x^{\frac{1}{3}}\right)}^{-1}}$.

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ est ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$ où ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{-1}}$ et ${\displaystyle g\left(x\right)=x^{\frac{1}{3}}}$.

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ est ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ où ${\displaystyle n=\frac{1}{3}}$.

Multipliez les exposants dans ${\displaystyle {\left(x^{\frac{1}{3}}\right)}^{-2}}$.

Pour écrire ${\displaystyle -1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Associez ${\displaystyle -1}$ et ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

Simplifiez le numérateur.

Placez le signe moins devant la fraction.

Associez ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ et ${\displaystyle x^{-\frac{2}{3}}}$.

Associez ${\displaystyle \frac{x^{-\frac{2}{3}}}{3}}$ et ${\displaystyle x^{-\frac{2}{3}}}$.

Multipliez ${\displaystyle x^{-\frac{2}{3}}}$ par ${\displaystyle x^{-\frac{2}{3}}}$ en additionnant les exposants.

Placez ${\displaystyle x^{-\frac{4}{3}}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Multipliez ${\displaystyle -1}$ par ${\displaystyle 2}$.

Associez ${\displaystyle -2}$ et ${\displaystyle \frac{1}{3x^{\frac{4}{3}}}}$.

Placez le signe moins devant la fraction.

Comme ${\displaystyle -2}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle -2}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle 0}$.

Additionnez ${\displaystyle -\frac{2}{3x^{\frac{4}{3}}}}$ et ${\displaystyle 0}$.

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${\displaystyle 3x^{\frac{2}{3}}-2x}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[3x^{\frac{2}{3}}\right]+\frac{d}{dx}[-2x]}$.

Évaluez ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[3x^{\frac{2}{3}}\right]}$.

Évaluez ${\displaystyle \frac{d}{dx}[-2x]}$.

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

Multipliez chaque terme dans ${\displaystyle \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}=2}$ par ${\displaystyle x^{\frac{1}{3}}}$.

Simplifiez le côté gauche.

Réécrivez l’équation comme ${\displaystyle 2x^{\frac{1}{3}}=2}$.

Divisez chaque terme dans ${\displaystyle 2x^{\frac{1}{3}}=2}$ par ${\displaystyle 2}$ et simplifiez.

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance ${\displaystyle 3}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

Simplifiez l’exposant.

Appliquez la règle ${\displaystyle x^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{x^m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

Toute valeur élevée à ${\displaystyle 1}$ est la base elle-même.

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Simplifiez chaque terme.

Soustrayez ${\displaystyle 2}$ de ${\displaystyle 3}$.

La réponse finale est ${\displaystyle 1}$.

Réécrivez ${\displaystyle 0}$ comme ${\displaystyle 0^3}$.

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${\displaystyle {\left(a^m\right)}^n=a^{mn}}$.

Annulez le facteur commun.

Réécrivez l’expression.

L’élévation de ${\displaystyle 0}$ à toute puissance positive produit ${\displaystyle 0}$.

Multipliez ${\displaystyle 3}$ par ${\displaystyle 0}$.

L’expression contient une division par ${\displaystyle 0}$. L’expression est indéfinie.

Remplacez la variable ${\displaystyle x}$ par ${\displaystyle -2}$ dans l’expression.

La réponse finale est ${\displaystyle \frac{2}{{(-2)}^{\frac{1}{3}}}-2}$.

Remplacez la variable ${\displaystyle x}$ par ${\displaystyle 0.5}$ dans l’expression.

Simplifiez le résultat.

Remplacez la variable ${\displaystyle x}$ par ${\displaystyle 4}$ dans l’expression.

Simplifiez le résultat.