Calcul infinitésimal Exemples

$p = \frac{1}{12} x^{2} - 6 x + 108$ , $0 \leq x \leq 36$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{12} x^{2} - 6 x + 108$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{2}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $\frac{1}{12}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{12} x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{12} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Étape 1.1.1.2.3

Associez $2$ et $\frac{1}{12}$ .

$\frac{2}{12} x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Étape 1.1.1.2.4

Associez $\frac{2}{12}$ et $x$ .

$\frac{2 x}{12} + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Étape 1.1.1.2.5

Annulez le facteur commun à $2$ et $12$ .

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Étape 1.1.1.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 (x)}{12} + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Étape 1.1.1.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$\frac{2 x}{2 \cdot 6} + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Étape 1.1.1.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2 \cdot 6} + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Étape 1.1.1.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x}{6} + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{6} - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [108]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x}{6} - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [108]$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$\frac{x}{6} - 6 + \frac{d}{d x} [108]$

Étape 1.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.1.4.1

Comme $108$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $108$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x}{6} - 6 + 0$

Étape 1.1.1.4.2

Additionnez $\frac{x}{6} - 6$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{6} - 6$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{x}{6} - 6$ .

$\frac{x}{6} - 6$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{x}{6} - 6 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{x}{6} - 6 = 0$

Étape 1.2.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{x}{6} = 6$

Étape 1.2.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $6$ .

$6 \frac{x}{6} = 6 \cdot 6$

Étape 1.2.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 1.2.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.4.1.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 1.2.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$6 \frac{x}{6} = 6 \cdot 6$

Étape 1.2.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 6 \cdot 6$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Multipliez $6$ par $6$ .

$x = 36$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $\frac{1}{12} x^{2} - 6 x + 108$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 36$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $36$ .

$\frac{1}{12} \cdot {(36)}^{2} - 6 \cdot 36 + 108$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

Élevez $36$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{12} \cdot 1296 - 6 \cdot 36 + 108$

Étape 1.4.1.2.1.2

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 1.4.1.2.1.2.1

Factorisez $12$ à partir de $1296$ .

$\frac{1}{12} \cdot (12 (108)) - 6 \cdot 36 + 108$

Étape 1.4.1.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{12} \cdot (12 \cdot 108) - 6 \cdot 36 + 108$

Étape 1.4.1.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$108 - 6 \cdot 36 + 108$

Étape 1.4.1.2.1.3

Multipliez $- 6$ par $36$ .

$108 - 216 + 108$

Étape 1.4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.4.1.2.2.1

Soustrayez $216$ de $108$ .

$- 108 + 108$

Étape 1.4.1.2.2.2

Additionnez $- 108$ et $108$ .

$0$

Étape 1.4.2

Indiquez tous les points.

$(36, 0)$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\frac{1}{12} \cdot {(0)}^{2} - 6 \cdot 0 + 108$

Étape 2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{12} \cdot 0 - 6 \cdot 0 + 108$

Étape 2.1.2.1.2

Multipliez $\frac{1}{12}$ par $0$ .

$0 - 6 \cdot 0 + 108$

Étape 2.1.2.1.3

Multipliez $- 6$ par $0$ .

$0 + 0 + 108$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 2.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 108$

Étape 2.1.2.2.2

Additionnez $0$ et $108$ .

$108$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 36$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $36$ .

$\frac{1}{12} \cdot {(36)}^{2} - 6 \cdot 36 + 108$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Élevez $36$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{12} \cdot 1296 - 6 \cdot 36 + 108$

Étape 2.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 2.2.2.1.2.1

Factorisez $12$ à partir de $1296$ .

$\frac{1}{12} \cdot (12 (108)) - 6 \cdot 36 + 108$

Étape 2.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{12} \cdot (12 \cdot 108) - 6 \cdot 36 + 108$

Étape 2.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$108 - 6 \cdot 36 + 108$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $- 6$ par $36$ .

$108 - 216 + 108$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.2.2.2.1

Soustrayez $216$ de $108$ .

$- 108 + 108$

Étape 2.2.2.2.2

Additionnez $- 108$ et $108$ .

$0$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(0, 108), (36, 0)$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(0, 108)$

Minimum absolu : $(36, 0)$

Étape 4