Calcul infinitésimal Exemples

$f (t) = 4 \sqrt{t} - t$ , $[0, 16]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 \sqrt{t} - t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [4 \sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{d}{d t} [4 \sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [4 \sqrt{t}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [4 t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Étape 1.1.1.2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $4 t^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $t$ est $4 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Étape 1.1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d t} [- t]$

Étape 1.1.1.2.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

Étape 1.1.1.2.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

Étape 1.1.1.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

Étape 1.1.1.2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.2.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

Étape 1.1.1.2.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

Étape 1.1.1.2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

Étape 1.1.1.2.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- t]$

Étape 1.1.1.2.10

Associez $4$ et $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- t]$

Étape 1.1.1.2.11

Placez $t^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- t]$

Étape 1.1.1.2.12

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- t]$

Étape 1.1.1.2.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.2.13.1

Factorisez $2$ à partir de $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (t^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d t} [- t]$

Étape 1.1.1.2.13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- t]$

Étape 1.1.1.2.13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- t]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [- t]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- t$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d t} [t]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (t) = \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (t)$ par rapport à $t$ est $\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1$ .

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1 = 0$

Étape 1.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} = 1$

Étape 1.2.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.2.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$t^{\frac{1}{2}}, 1$

Étape 1.2.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$t^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.2.4

Multiplier chaque terme dans $\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} = 1$ par $t^{\frac{1}{2}}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 1.2.4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} = 1$ par $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} t^{\frac{1}{2}} = 1 t^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $t^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} t^{\frac{1}{2}} = 1 t^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 = 1 t^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.3.1

Multipliez $t^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$2 = t^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.2.5

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.5.1

Réécrivez l’équation comme $t^{\frac{1}{2}} = 2$ .

$t^{\frac{1}{2}} = 2$

Étape 1.2.5.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(t^{\frac{1}{2}})}^{2} = 2^{2}$

Étape 1.2.5.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 1.2.5.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.5.3.1.1

Simplifiez ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.2.5.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.2.5.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$t^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Étape 1.2.5.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.5.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$t^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Étape 1.2.5.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$t^{1} = 2^{2}$

Étape 1.2.5.3.1.1.2

Simplifiez

$t = 2^{2}$

Étape 1.2.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.3.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$t = 4$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 1.3.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{2}{\sqrt{t^{1}}} - 1$

Étape 1.3.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{2}{\sqrt{t}} - 1$

Étape 1.3.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{2}{\sqrt{t}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{t} = 0$

Étape 1.3.3

Résolvez $t$ .

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Étape 1.3.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{t}}^{2} = 0^{2}$

Étape 1.3.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 1.3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

${(t^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 1.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.3.2.2.1

Simplifiez ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.3.3.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.3.3.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$t^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 1.3.3.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.3.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$t^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 1.3.3.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$t^{1} = 0^{2}$

Étape 1.3.3.2.2.1.2

Simplifiez

$t = 0^{2}$

Étape 1.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$t = 0$

Étape 1.3.4

Définissez le radicande dans $\sqrt{t}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$t < 0$

Étape 1.3.5

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$t \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$t \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Étape 1.4

Évaluez $4 \sqrt{t} - t$ sur chaque valeur $t$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $t = 4$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $t$ par $4$ .

$4 \sqrt{4} - (4)$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$4 \sqrt{4} - (4)$

Étape 1.4.1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$4 \sqrt{2^{2}} - (4)$

Étape 1.4.1.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$4 \cdot 2 - (4)$

Étape 1.4.1.2.2.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$8 - (4)$

Étape 1.4.1.2.2.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$8 - 4$

Étape 1.4.1.2.3

Soustrayez $4$ de $8$ .

$4$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $t = 0$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $t$ par $0$ .

$4 \sqrt{0} - (0)$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$4 \sqrt{0} - (0)$

Étape 1.4.2.2.2

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$4 \sqrt{0^{2}} - (0)$

Étape 1.4.2.2.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$4 \cdot 0 - (0)$

Étape 1.4.2.2.4

Multipliez $4$ par $0$ .

$0 - (0)$

Étape 1.4.2.2.5

Soustrayez $0$ de $0$ .

$0$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(4, 4), (0, 0)$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $t = 0$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $t$ par $0$ .

$4 \sqrt{0} - (0)$

Étape 2.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$4 \sqrt{0} - (0)$

Étape 2.1.2.2

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$4 \sqrt{0^{2}} - (0)$

Étape 2.1.2.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$4 \cdot 0 - (0)$

Étape 2.1.2.4

Multipliez $4$ par $0$ .

$0 - (0)$

Étape 2.1.2.5

Soustrayez $0$ de $0$ .

$0$

Étape 2.2

Évaluez sur $t = 16$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $t$ par $16$ .

$4 \sqrt{16} - (16)$

Étape 2.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$4 \sqrt{16} - (16)$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.2.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$4 \sqrt{4^{2}} - (16)$

Étape 2.2.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$4 \cdot 4 - (16)$

Étape 2.2.2.2.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$16 - (16)$

Étape 2.2.2.2.4

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$16 - 16$

Étape 2.2.2.3

Soustrayez $16$ de $16$ .

$0$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(0, 0), (16, 0)$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (t)$ trouvées pour chaque valeur de $t$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (t)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (t)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(4, 4)$

Minimum absolu : $(0, 0), (16, 0)$

Étape 4